ページ3:

一求一元二次方程式的解
「解」:即為「根」,代入為零』,存在因式」,根與係數」,圖形通過,
1.解的類別
⇒一元二次方程式可能有兩個解或無解
⇒ 兩個解時有兩種不同情況
「兩個解相異⇒稱此兩解為兩相異根
ex.
“X²-3X+2=0.x = 1 or 2
(兩個解相同⇒稱此兩解為兩相同根,又稱重根
ex. x² - 2x+1 = 0, x = 1 or 1
X=1(重根)
如何判別解的類別
1. Ans:使用判別式來判別一元二次方程式有幾個解
ax²+bx+c=0
a為必項係數
判別式 ⇒ b²-4ac
b為X項係數
C為常數項

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四共軛根
若一元二次方程式的兩根為a±6的模式
則稱 a+16 和a-16兩根為共軛根
⇒若一元二次方程式的一根為a+16
ex.
ex.
則另外一根必定為a-6
“X²-3X-5=0的一根為3+27,另一根為.
2X² - X-5 =〇的一根為一些,另一根為

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2. 判別式有三種結果
(1) 判別式大於零方程式有兩相異根
2X²-3X-5 = 0; b²-4ac=(-3)-4x2x(-5) = 49 > 0
20²-3X-5=0 有兩相異根
(2) 判別式等於零⇒方程式有兩相同根
X²+6X+9=0; b²-4ac=6²-4x1x9 = 0
X²+6X+9=0 有兩相同根
(3) 判別式小於零⇒方程式無解
3X²+2X + 5 = 0; b²-4ac=2²-4×3×5=-46<0
3X²+2x+5=0 無解

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「解」:即為「根」,「代人為零」,存在因式」,「根與係數」,「圖形通過」
「代人為零」
若 aX²+bx+C=〇
有兩根X 和B
將x=x代入或x=B代入ax²+bx+c
其值皆為 O
ex.
“X-10X+21=0 有兩根3和7
X=3代入為零
X=7代入為零
“存在因式」
表示ax²+bx+C必有兩因式(xx)和(X-B)
ex.
“X-10X+21=0 有兩根3和7
x²-10x+21=(x-3)(x-1)

ページ7:

三、如何求解
1. 利用十字交乘,因式分解
ex.
^2x²-13x+15=0,求x=?
2X.
X
-3
x -5
(28-3)(x-5)=0
ex.
兩式相乘等於零則可以判斷
√2x-3=0, x = 3/3
or
LX-5=0,X=5
Ans. X = or 5
3X²+ 6X +3 = 0,求x=?
3(X²+2x+1)=0
+1
ㄨX!!
x
`+ 1
3(X+1)(x+1)=0
相乘等於零則可以判斷
fx+1=〇,X= -|
or
•X+1=0,X=-|
Ans: X = -1 er -1 (X=-1(重根)
or

ページ8:

「根與係數」
方程式的兩根和與兩根積可以由方程式的係數求出
ax²+bx+c=〇有兩根X和B
ex.
Q為X項係數
√ x + B = = = b
6為X項係數
1 x B = — a
C
C為常數項
“X²-10x+21=0 有兩根3和7
兩根和 =⇒ 3 +7 = =(-10)
兩根⇒ 3×7=31
「圖形通過,
函數f(x)=ax²+bx+c 圖形必通過(x,口)和(B.0)
ex.
“X-10X+21=0 有兩根3和7
f(x)=x²-10x+21 圖形必通過(3,0)和(70)

ページ9:

2. 代換法
ex
(2x+1)+2(2x+1)-15=0,求x=?
A = (2x+1)
原式= A²+2A-15 = 0
代人A
(A+5)(A-3)= 0
(A+5)=0
or
L(A-3)=0
Axt
+5
A
·3
(((2x+1)+5) = 0,2x+6=0, x = -3
x+1)+5
or
\ ( ( 2x + 1) −3 ) = 0,2x-2=0, x = 1
Ans. x=-3 or 1

ページ10:

3. 等號兩側同時開根號
ex.
3x=17,求x=?
17
x = 11/13
開梘號 提出枳號 去絕對值
開根號 提出枳 去絕對值
17
x2
||x| =
√51
↓ x
=
3
加正負
開根號
Ans. X = ±
151
ex(x-23=5,求x=?
(x-2)=5
√(x-2)=√5²
|x-21=15
X-2 =±15
X =2±5
加正負
Ans:X=2±15

ページ11:

ex(2x+3)=17,求x=?
開根號 提出枳 去絕對值
(2x+3) = 17 關
√(2x+3)²= √17
|| 2x+3| = √17
2X +3
=
17
加正負
2X
==
-3± 17
x
=
-3±/17
2
Ans. X =
-3±117
2

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4.公式解
只需知道方程式的各項係數,代入公式即為解
若一方程式 ax²+bx + c = 0
a為x²項係數
則其解 x=
-b±√6²-4ac
b為X項係數
2a
C為常數項
ex.
6X = -5X + 3,求x=
Step1 整理式子為
ax²+bx + c = 0
Step2 確認a.b.c
6X = -5X²+ 3
5X²+6X -3 = 0
a=5
b=6
C = -3
將a.b.c
-6±16²-4×5×(-3)
x =
2×5
-6±196
Step3 代入公式解
x =
-b±6-4ac
2a
=
||
To
-6±456
10
-3±216
5
☑

ページ13:

5.配方法
利用常數的增減將方程式寫成完全平方式
(1)完全平方式
ex.
完全平方式可以等於另外一式的平方
(x²+2x+1)=(x+13 X²+4X+4= (x+25
(X²+2x+1)和(X²+4X+4)都是完全平方式
(2)找缺少的常數
當必項係數為1時,若要配成完全平方式,
常數必定是X項係數的一半再平方
(中間項)
口訣==⇒常數為中項半平方
exx²+6x+()=(x+1/23
x²-8x + (0) = (x-
2
3
x²-8x+()=(x-2)