練習16の（3）についてです。 解答が、 点2izは点zを原点を中心として２分のπだけ回転し、原点からの距離を2倍した点である。 となるのですが、 原点からの距離を～ からが分かりません。極形式は2枚目のようになると思うのですが、、教えて頂きたいです🙇‍♀️

解答の4行目の波線がついているところで、何でこのような変形をしようと思うのかがわからないです。 教えてください。

20. 複素数が表す三角形 複素数平面上の3点 0(0), A(a), B (3) は異なる点であるとし, 4a2-6aẞ+38² = 0 を満たすとき, T arg =土 ア A エ ウ であるから, πT T π ∠AOB= , ZOAB = ZOBA= オ カ キ カ であることがわかる。 解答 402 - 6aß + 3β2 = 0 を2で割って, 2 3 (2)² -6.2+4= a a 6(2)+3 4-6 2 x= 62√36-78 B3V3i2V3VS士i2v/2{cos (+) +isin (+2)} = 3 6 67√122 6 で a であるから, rg (4) - πT = (ア) B 2v2 = (イウエ) 3 6 3 である。これより, OBはOÃを大きさを 2√2 倍して, だけ回転させたものである。これより, 3 πT πT ∠AOB= OABOBA (オカキ)である。 B 2√√3

APベクトルが初めと同じ状態になったというのはどういうことですか？教えて頂きたいです。よろしくお願いいたします。

[IV] 複素数平面上に原点を中心とする半径1の円 C と, 中心AがCの外側の正の実軸上にある別の円 C' があり,実軸上 [] の1点で外接している。 P, Q を C' の円周上の点として, 初めQはCとの接点の位置に, Pは C' と実軸とのもう一 方の交点の位置にあるとする。 いま C' が, Cと接しながら滑らずに, A が初めて虚軸に達するまで反時計回りに回転 する。この間、点Pは1度だけCの円周と接して最後にAP が初めと同じベクトルとなった。 このとき、次の各問いに 答えよ。 問1円 C' の半径をとする。 Aが虚軸に達するまでにC' がCの円周と接する部分の弧の長さをを用いて表せ。 答 えのみでよい。 問2の値を求めよ。 答えのみでよい。 問3 PCの円周に接するときのPを表す複素数の偏角を求めよ。 答えのみでよい。 問4 初めの位置からのAPの回転角を、 A を表す複素数の偏角を0とする。 (1)との関係を求めよ。 答えのみでよい。 (2) 点Pを表す複素数の極形式は次のようになる。 ア ク に適する1以上の整数を求めよ。 答えのみ でよい。 ア + イ COS ウ [0 -(cos 0' + isin 0'), H オ icos + cos キ sin + sin ク 6 ただし, cos'= sin0'=_ ア + イ COS ウ 0 ア + イ @COS ウ 0 問5Pが,最初の位置から、 初めてCの円周に接するまでに描く軌跡と, Cの円周、および実軸で囲まれる領域の面 積を求めよ。

複素数平面です どうして2kπ足すんですか？？

106 方程式 z" =αの解 00000 基本105 重要 108 方程式 z=-8 +8√3 i を解け。 は 習 133、 指針 方針は前ページの基本例題 105 とまったく同様である。 解を z=r(coso+isin0) [r>0] とすると z=r(cos40+isin 40 ) 387 き上 また、8+83iを極形式で表し、両者の絶対値と偏角を比較する。 ので CHART αの乗根は絶対値と偏角を比べる - 解をz=r(cosO+isin0) [r>0] とすると z=r* (cos40+isin40) -8+8√3i=16 (cos/3z+isin1/2/3) 20 ドモアブルの定理。 -8+8√3i -16(cos +isin) -16(-1) 3 解答 また ゆえに *(cos 40+isin40)=16( 2 両辺の絶対値と偏角を比較すると 定理。 2 す。 |極形式で >0であるから r=2 また π 0 = + k π 6 2 よって 6 k 6 24=16, 40= 133 +2kkは整数) +2km を忘れないように。 <r”=a(a>0) の正の解 は r="a 3章 2 ド・モアブルの定理 +z+1) 数分解を利 もできる。 数平面上に ■立円に内接 頂点となっ k=2が ■の参考事項 )は買いに k z=2/cos(+)+isin(+) 0≦<2mの範囲で考えると k=0, 1, 2, 3 ① ①で0,1,2,3としたときのzを,それぞれ20,21,≠) 22, 23 とすると π 20=2(cos +isin)=√3+i, 6 を代入 6 z=2(cos/1/3rtisin/32x)=-1+√3i, 1722=2 7. 22-2 (cos 7/7+isin 77)=-√3-i 6 5 COS- 6 5 π 21-2(cos 37+isin 37)-1-√3i+ -2 + 2 (C) 20 2 22 23 21 したがって、 求める解は T 20 3. 1x z=± (√3+i), ± (1-√3i) らの (c) 25 2x 解の図形的な意味 解を表す 4点 20, 21, 22, 23 は, 複素数平面上で, 原点 0 を中心とする半径2の円に内接 する正方形の頂点である。 また、 解Zkにおいて, k = 0, 1, 2, 3 以外の任意の整数に対 して、ZkはZo, Z1, 22, 23 のいずれかと一致する。 [(1) 東北学院大 ] p.393 EX 73 (1)22-81 次の方程式を解け。 (2) z=-2-2√3i

極形式です！ なぜこうなるのか教えてほしいです

1+i (5) 2(sin 17/7+ic π +icos 12 3 5 5

複素数平面の問題で、どうやったら青線みたいに一つの極形式にまとめられるのですか？ 青線になるまでの過程を教えてほしいです。

3) 1+√√3i 2 √2-√2i = √√3 + -i 2 1 1 i √2 1) (-2 (-2+2/3√2 2) ドモアブル = cos+i sin 3 π 3 cos(-) +isin() を示せ。 7 7 =COS π十isin π 12 12 ここで,ド・モアブルの定理より, (分子分母を各々極形式に変形) cos sin 30 (全体を1つの極形式にまとめる) nie ar= √2-√2i 1+√3i)= 8 8 7 7 COS л+isin π 12 $12 14 3 14(A miei +00001204 3 =COS л+isin -π 3 10\8-8 2 =cosx+isin =COS 3' 2 π +isin+- 1 ここで、 (-2+ + 3 -i () 2

赤線部のような条件が出てくるのはなぜですか？🙏 お願いいたします!

1 k 154. 実数を係数とする2次方程式x+px+q=0が2つの虚数解αをもつとき, p, g, α を求めよ. 1***

どのように考えたら2分のπになりますか？

r² (cos20+isin20) = COS +isin

mを自然数として〜からの場合分けはどうやって場合分けすれば良いのですか？自力で解くときにちゃんと場合分けできる自信がありません💦

n乗の計算 nが自然数のとき、(1)+(1) 17 ド・モアブルの定理 例題 24nが自然数のとき. (1/2)+(1/12) の値を求めよ。 指針ド・モアブルの定理(複素数)” の形であるから,極形式に直して計算する。 解答 (与式) (cos+isin+cos(-) +isin (-)} = =(cos ""+isin")+{cos(-7) +isin(-")} nπ =2 cos 4 よって, mを自然数として n=8m のとき2; n=8m-1,8m-7 のとき 2;n=8m-2,8m-6のとき 0; n=8m-3,8m-5のとき -√2;n=8m-4のとき -2 B

問題でθの範囲は定められてないのに勝手に決めちゃっていいんでしょうか。

基本 例題 93 1のn乗根 極形式を用いて, 方程式 21 を解け。 CHART & SOLUTION 複素数の累乗 ド・モアブルの定理 [1] |2|=1 より =1であるから, z=cos0+isin0 とおく。 [2] 方程式 2”=αの両辺を極形式で表す。 [3] 両辺の偏角を比較する。 偏角はarga +2kπ (k は整数)とする。 [4]0≦0<2πの範囲にある偏角の値を書き上げる。 解答 00000 313 p.302 基本事項 5 基本90 2=1から | z | 3=1 よって |z|=1 <+r=1 したがって, zの極形式を z=cosisin <2 とすると =cos 30+isin 30 ◆ド・モアプルの定理 また, 1を極形式で表すと 1=cos0+isin 0 よって, 方程式は cos 30+isin 30=cos0+isin 0 両辺の偏角を比較すると 3章 11 複素数の極形式, ド・モアブルの定理 2kл 30=0+2km (kは整数) すなわち 0 30=0 だけではない。 3 2kл 2kл +2k を忘れずに! よって z=COS +isin ..... ① 3 3 0≦02 の範囲では k=0, 1,2 ① で k = 0, 1, 2としたときのぇをそれぞれ20, 21, Z2 とす z= cos0+isin0=1, 12/3n+isin/3x=-12+12 inf. 23=1の解を複素数 平面上に図示すると, 下図 のようになる (p.302 基本 事項 5例 を参照)。 解を 表す点 20, Z1,Z2は単位円 に内接する正三角形の頂点 ると 21 COS 4 z2=cOS gr+isin 3π 2 2 4 1 √3 π= YA したがって、求める解は z=1, -121121-12-13 1√3 1 2 21 + -i, π 3 inf. 「極形式を用いて」 と指示がない場合 z-1=0 から (z-1)(z2+z+1)=0 -1±√√3i よって z=1, 2 と解くこともできる。 nia -1 22 20 x