1 k 154. 実数を係数とする2次方程式x+px+q=0が2つの虚数解αをもつとき, p, g, α を求めよ. 1***

p q は実数であるから, 方程式 x2+px+q=0 が虚数解をもつとき、その2解は共役である. したがって, a = a.....99 ここで, αの極形式を α=r(cosO+isin 0) ...... ② とする. αは虚数であるから, r>0,0<< または <02π で考えてよい。 このとき ①は次のように表せる. r5 (cos 50+i sin 50) 78 =r{cos(-0)+isin (-6)} これと ③より, r=1, 0=π 両辺の絶対値と偏角を比較すると, Sr5=r 150=-0+2NT (Nは整数) 5 245 3 0=1, . . г π 3 よって ②より a= 1+√3i -1+√3 -1-√3i (2)2 2 1-√3i 2 また,解と係数の関係より、 ¥50. α+α=-p, aα=q であるから, p=-(a+α)=-2 (αの実部)工 g=1α=r2 (pg,α) は、だから (-1. 1. 1±√3). 以上より 以上より(g, 3i), 1,1,-1/ ±√3i 2