3
π
n
134 1のη乗根と COS の値 nano★★★☆
2
COS
25
-π+isin-
2
とする。
① A
自
2,1+α+α+α°+α*, 1 + a + a² + α+ (α) の値を求めよ。
COS
2
5
ーの値を求めよ。
[ (1) 1+α+α°+°+α^ 因数分解 x-1=(x-1)(x^+x+x'+x+1) を利用。
前問の結果の利用 αとの関係αalaを利用
1+α+α°+α+(a) をつくる。 niei
Action» α-1+α"-2+
2
(2) COSπ=
209
+α+1は, α-1の因数分解を利用せよ
2
(α の実部)αの式でcosを表すと?
Action» αの実部は、 1/2(+α)を考えよBa
9
複素数平面
5
(1)
a³ = (cos-2/
COS
π+isin
=
π cos2лisin2 = 1
ド・モアブルの定理
これより a5-1 = 0
よって(+1) (a^+α+α+α+1)= 0
α≠1であるから 1 +α+α+α°+α^= 0
|a|=1 より |α|21 であるから
a a = 1
よって, α = であるから
1
a
1+a+a² + a +(a)² = 1+a+a²+
x = COS
25
=
+
1
1
a
1+α+α°+°+α^
= 0
12/2/2x=1/2(+α)である
π とおくと, COS
から
a+a = 2x
... ①
また
5
a²+(a)²=(a+a)2-2a a=4x²-2
(1)より, 1 + (+α)+{a°+(a)}=0 であるから,
①,② を代入すると
x = COS
2
5
54x2+2x-1=0
> 0 であるから
2
-1+√5
cosπ = −1+
COS
一般に
x-1
=(x-1)(xn-1+xn-2
= COS'
nies
1
2
+･･･+1)
nisin 201
1+a+a+a+a=0
を代入する。
aa=
lal=1
-1±√5
x=
4
2
10より
5
0<cos <1
2
