183. 1 複素数平面上の原点以外の点zに対して, w= とする。 mie+ Z 8 αを0でない複素数とし, 点αと原点Oを結ぶ線分の垂直二等分線をLとする。点 が直線L上を動くとき, 点wの軌跡は円から1点を除いたものになる。この円の 心と半径を求めよ。 1の3乗根のうち,虚部が正であるものとする。 点と点2を結ぶ線分上を 点zが動くときの点wの軌跡を求め, 複素数平面上に図示せよ。 [17 東京大理系

この条件を満たす点z全体を図示すると, 右の図の太線部分のようになる。 183 〈直線上を動く点zとw=f(z) の表す図形〉 12 ◆zキ-10 に注意。 (1)2点A(a),B(B) を結ぶ線分ABの垂直二等分線上の点ぇは,|z-α|=|z-B を満たす。 (2)1のn乗根を表す複素数 Zk は 2kπ 2kπ 2k = COS +isin n 1の3乗根で虚数は COS- 2π 2π +isin と COS 3 3 n (k=0,1,2, ...., n-1) os 4/+isink (sin1/3x<0) 3 3 (1)直線Lは点αと原点Oを結ぶ線分の垂直二等分線であるから, L上の点zは,次の等式を満たす。 |z-0|=|z-α| すなわち ||=|z-a| 1= 20であるから,両辺を|2| で割ると1-1-2 | w=1/2 を代入して Z |a|≠0 より |1-qw|=1 |a||w———||= 1 w- =1 ◆L上に原点はないから z=0 ←low-1|=1から ||a (w−−1)| = 1 1 すなわち w- ① ゆえに、点wの軌跡は円①から 原点を除いたものである。 0 よって,円 ①の中心と半径から, 1 that a 中心 半径 βは1の3乗根で,虚部が正で あるから cos/x+isin/1/x=12+2i √3 cosx+isin+7=-1√3 =COS 2 2 よって、2点B,B2 を結ぶ線分上 この点は,実部が の複素数 2 で、その絶対値は1以下である。 ゆえに,点zは点-1と原点 0 を結ぶ線分の垂直二等分線上にあ るから (1) = -1 とすると, 点wは中心-1, 半径1の円から 原点 0 を除いた図形上にある。 w0 であるから,点wは 原点0に一致しない。 yA 0 /1x ◆x3=1の虚数解は, x2+x+1=0 の解。 これから求めてもよい。 B2も1の3乗根。 川 ◆原点と線分上の点zの距 離は、円の半径以下。 垂直二等分線に気づけば, (1)の結果が利用できる。 BI (p+qm-1 B2 数学重要問題集(理系) 169

一方,|z|≦1であるから YA B 1 ≦1 すなわち w≧1 W したがって, 求める点wの軌跡は, 中心 -1, 半径1の円のうち、 -2 0 ilx |w|≧1 を満たす部分で, 右の図の 太線部分のようになる。 B2 -1