a b は実数とする。 3次方程式 x3 +ax+b= 0 が 1 + 2i を解にもつとき, 定数a,
bの値を求めよ。 また, 他の解を求めよ。
(教科書 p.61 応用例題3)
この問題には3通りの解法がある。 それぞれの解法について、 長所と短所を考える。
*まず,教科書と同じ解法 (与えられた解を方程式に代入する) で解いてみよう!
解法 1
1 +2i が解であるから x+ax+b=0にx=1+2i を代入すると
a+gav
(1+2i)3+α(1+2i)+6=0
整理して
a+b-11
+
2a-2 i=0
a,bは実数であるから, a+b-1
20-2
は数である。
よって
a+b-11
これを解くと
0
20-2
=
0
a=
b=
"
10
このとき, 方程式は
x3+x+
10 =0
左辺を因数分解すると(x+2)(x-2x+5=0
したがって
x=
-2
+ 2
2