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演習 例題 2333本の接線が引けるための条件 (2)
0000
|f(x)=x-xとし, 関数 y=f(x) のグラフを曲線Cとする。 点(u, v)を通る曲
|線Cの接線が3本存在するためのu, vの満たすべき条件を求めよ。 また、その
条件を満たす点 (u, v) の存在範囲を図示せよ。
|指針 前ページの演習例題 232と考え方は同様である。
① 曲線C上の点(t, f (t)) における接線の方程式を求める。
[類 鹿児島]
基本 228 演習 232
2 ①で求めた接線が,点(u, v)を通ることから,tの3次方程式を導く。
③3 2 の3次方程式が異なる3個の実数解をもつ条件を, u, vの式で表す。
f'(x)=3x²-1であるから, 曲線C上の点の座標を
解答 (t,f(t)) とすると, 接線の方程式はの等式が
TRAH
y-(t³-t)=(3t2-1)(x-t) y-f(t)=f'(t)(x-
すなわち y=(3t2-1)x-2t3
お
この接線が点(u, v) を通るとするとv=3t2-1)u-2t3
...... 1)(x(0)+10+2)
よって
23-3ut2+u+v=0
3次関数のグラフでは,接点が異なれば接線も異なる。前ページの検討参品
ゆえに、点 (u, v) を通るCの接線が3本存在するため
の条件は,tの3次方程式 ① が異なる3個の実数解をも
つことである。
+18-
条件
よって, g(t)=23-3ut+u+vとすると, g(t)は極値を p.361 の例題 228 参照
もち、極大値と極小値が異符号となる。
かつ g(0)g(u) <03-
(u+v)(-u+u+v)<0
(2)
g'(t)=6t2-6ut=6t(t-u) であるからと
g(0)g(u)<0から
②でu=0 とすると2<0となり,これを満たす実数は
存在しない。ゆえに、 条件 u≠0 は②に含まれるから, 求
める条件は ②である。
[u+v>0
-u³+u+v<0
u+v<0
-u³+u+v>0
②から
または
よって
v>-u
v<-u
または
\v<u³-u
\v>u³-u
2√3
9
√√3
3
√30
3
g'(t) = 0 とすると
t=0,u
u≠0のとき, t=0.10
うち一方で極大,他方で
極小となる。
v=uuのとき
とすると
√3
3
のとき
ゆえに,点(u, v) の存在範囲は
右図の斜線部分。 境界線を含まない。
(復号同側)
9
9
直線
原点における接
練習 f(x)=-x+3x とし, 関数 y=f(x) のグラフを曲線Cとする。点(u,
⑤ 233 曲線 Cの接線が3本存在するための u, vの満たすべき条件を求めよ。 また、
231 条件を満たす点(u, v)の存在範囲を図示計上
