なぜYをtで微分した関数がπ/4の右側がプラスで左側がマイナスなのですか。

00000 媒介変数によって, x= 4 cost, y=sin2t0sts と表される曲線とx軸 で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 指針 2 重要 110 重要 183 媒介変数を消去して y=F(x)の形に表すこともできるが, 計算は面倒になる。 そこでx=f(t), y=g(t) のまま, 面積Sを置換積分法で求める。 ① 曲線とx軸の交点のx座標 (y=0 となるtの値)を求める。 ② tの変化に伴う, xの値の変化やyの符号を調べる。 3面積を定積分で表す。 計算の際は、次の置換積分法を用いる。 s=Sydx=Sg(t)f(t)ata=f(a), b=f(B) π 0≤t≤ = 2 ①の範囲で y= 0 となるtの値は 解答 晶検討 t=0. π 2 また、①の範囲においては,常に y≧0である。 x=4costから よって y=sin2t から dx =- -4sint dt dx=-4sintdt ・=2cos2tであり、 - dy π dt t 0 4 dy =0 とすると dx dt 0 dt π t= =4 x 4 4 ゆえに、右のような表が得 られる ( は減少, は増 dy + + 20 dt 0 y K : T π 2 2√20 1 - 0 xtの対応は次の通り。 ←01 x TC 2 4 → 0 また、tsでは20 であるから, 曲線はx軸の 上側の部分にある。 面積の計算では、積分区間 • ・上下関係がわかればよい から増減表や概形をかか なくても面積を求めること はできる。 しかし、概形を 調べないと面積が求められ ない問題もあるのでその ときは左のようにして調べ る。 (*) 重要例題110のよう ↑ を用

赤の矢印までの途中式が分からないです。 教えてほしいです。お願いします😭

(p.9)である。 (b,g)における接線の方程式を求 めると、px+gy=4 となることとも合致する。 (03(金) f(x)=3x²+fxf (t)dt+f" f(t)dt \(e) ay, 2+FJ's(1)dt+ =3x2+ - x]" ƒ ( t) dt + f f (t) at .... dt は定数であるから Cat. Lat Led-a とおくと,①より より a= ....... f(t)dt-b......3 f(x)=3x2+ax+b ...... ④ …④ bにおけ プリ文字に表す = f'(31²+at+b)dt=[t² + ", t² +bt]=1+ 2+ a であるから --6-1-0 ..... ② a +6 ③ より (3r+at+b)dt=[++br]-2+26 (ea 1882 -1 であるから であり②より ④より b=-2 140 a=-2 f(x)=3x²-2x-2 VA 1080y=f(x)| =3x 1-√7 1+√740S1-97 x+ 3 3 れた部分の面積は であるから, 放物線y=f(x) とx軸とで囲ま 3 /1+√7 3 1+√7 3 1+√7 - f(x)dx=-3 3 1-√√7 1+√√7 dx x- x+ 3 3 3 3 1/1+√7 1-√7 3 }

微積の面積を求める問題なのですが全く分かりません。2枚目のグラフにはx＝０が書かれてないないのに、F(a)＝∫［0→a］f(x)dxなどはどこの部分を表しているのでしょうか？

学II 数学 B 数学 C 〔2〕 a,b,cをa<b<cを満たす実数とする。 f(x) を2次関数とし, f(x) は f(a)=f(b)=0,f(c) <0を満たす。また,F(土)= 0 dt とする。 f(t) (1) f(x) F(2) に関する条件から [f(x) dx = a [^\f(x) dx = コ サ である。 C サ の解答群 OF(c) - F(a) ②F(a)+F(c) ④ F(c) +F(b)-F(a) F(c)-F(b)-F(a) ⑧ 2F(b)-F(a) -F(c) ①F(a)-F(c) ③ -F(a) - F(c) ⑤ F(a) +F(b) - F(c) ⑦F(a)-F(b)-F(c) ⑨ F(a)+F(c)-2F(b) (数学 II, 数学 B 数学C 第3問は次ページに続く。)

なんでこれからこれになるのでしょうか

0000 324 基本 例題 207 定積分を含む関数(定数型) 次の等式を満たす関数 f(x) を求めよ。 (1)f(x)=3x-x+S_f(t)dt (2) f(x)=2x2+1+Jxf(t)at CHART & SOLUTION p.320 基本事項 3.基本 定積分の扱い Sof(t) dt は定数文字でおき換え 定積分を計算しようとしても, f(t)は不明なので,直接計算することができない。 Sf(t) dt は定数であることに着目する。 (1)Sf(t)dt=a(定数) とおくと,f(x)=3x-x+αと表されるから, St-t+a)dt=aである。この定積分を計算してαの値を求める。 (2) Sxf(t)dt→ xtに無関係で定数xff(t)dt (1) と同様に処理。 そこで S_f(t)dt=a とおくと f(x)=3x²-x+a t S_f(t)dt の値はわから よってSf(t)dt=S(312-t+a)dt ないが、定数である。 =2f(312+a)dt 2 =2[at]=2(1+α) 奇数 0 ゆえに 2 (1+α)=a よって a=-2 したがって f(x)=3x²-x-2 (2)f(t) dt=a とおくと f(x)=2x2+ax+1 よってS's(n)=S,(2p+at+1)=1/2/31+1/21+10 ゆえに 1/24 1/2=4 a 5 + Fa 3 よってa=10 Sexf(t)dt のxは、 変数 tに無関係である から,定数として扱う。 すなわち Sxs(tat=x$sta したがって f(x)=2x²+10x+1 PRACTICE 207Ⓡ 次の等式を満たす関数 f(x) を求めよ。 (1) f(x)=2x²+xff(t)dt (2) 基本 (1) (2) CHA 定 S (2) fore (1 (2

これってなんでこのようになるのでしょうか？ 教えてください

αの方程式が得られる。 (2)まず、与えられた等式をff(d=-x+3xと変形して, 両辺をxで微分 CHART 定積分の扱い SSを含むならで微分 解答 =(x+2)(x f(x) =0 とすると (x+2)(x- よって x=2 (1)S*f(t)at=x-3.x-4 ① とする。 ゆえに、f(x)の のようになる。 解答 ①の両辺をxで微分すると dx Ja dSs (t)dt=2x-3 ここで f(x)= すなわち f(x)=2x-3 d また、①でx=α とおくと, 左辺は0になるから - 0=a²-3a-4 よって (a+1) (a-4)=0 <SF(t)dt=0 したがって f(x)=2x-3;q=-1,4 ゆえに a=-1,4 ゆえに f(-2 (2) f(t)dt=x³-3x 5 f(1)= すなわち f(x)=-3x2+3 0=-a+3a ゆえに a(a-3)=0 よって a=0, ±√3 したがって f(x)=-3x²+3a=0.±√3 Sf(t)dt=-x+3x ②の両辺をxで微分するとSoftdt==3x²+3 また②でx=q とおくと, 左辺は0になるから SS(edt=Sfloa ...... ② 上端と下端を交換しない で f(t)dt=-f(x) よって, x=-2 別解 この問題 して極値を求 としてもよい。 f(-2)= S(1)=S よって、x= る。 2242 次の等式を満たす関数 f(x) および定数の値を求めよ。 (1)(t)dt=2x²-9x+4 (2)S's(rdt

このマーカー引いてるところが何をしてるのか全く分からないので教えてください！！

練習問題 19 次の等式を満たす f (x) を求めよ. 精講 f(x)=2x³-3x+2f(t)dt xxx 273 今までの「方程式」 といえば, 「等式を満たすようなæの値を決め 「る」ものでしたが,この問題は 「等式を満たすような関数f(x) を 「決める」という問題, つまりこれは, 「関数の方程式」の問題です。 「ftdt の部分が「定数」であることに注意しましょう。その定数部分を Sof(t)dt=k のように文字でおくのがセオリーです。 解答 ff(t)dt=k……① とおくと定積分をおとおく よって, f(x)=2x-3x+2k ......2 Sof(t)at=∫(2t-3t+2k)dt <②より 3 +4- 12+2 P+2kt 1 3 +2k=-1+2k 2 2 第6章 ①より, -1+2k=k,k=1 これを②に代入して, f(x) =2x-3x+2 コメント 元の等式において, f (x) がどんな式かを知るためには,右辺を計算しない といけませんが,右辺を計算するには f(t) dt の値を求める必要があり、 そのためにはf(x) がどんな式かがわからなければなりません. まさに 「金庫 を開ける鍵が金庫の中にある」ような状況ですね. この状況を打開する方法が tea の値をいったんんとおき, f(x) の式を「仮決め」してしまうこと

285の問題で1より大きいときの場合分けするのはなぜですか？解説の3のところでマイナスを付けて絶対値を外しているのはなぜですか？

。 285 等式 Solx-ax|dx=1/23 を満たす実数 α をすべて求めよ。 [19 東北大] 37 積分の計算 ○○ 79

指数方程式の問題です。 序盤も序盤ですが、 なぜこのふたつの問題で 2^X＝t とおいているのは同じなのに tの範囲が異なるのでしょうか(t＞0、t＞1) よろしくお願いします🙇🏻‍♀️

D 187 指数方程式の解の個数[1) 開 ★★★☆ 方程式 4-2x+2 +k = 0 の異なる実数解の個数を調べよ。 の値の範囲 4'-2+2+k=0 の 2" =t とおく 異なる実数解の個数 r-4t+k = 0 の おける異なる実数解の個数 に 対応を考えるとの対応を考える 右の図から1つのtの値に対して,xは1つ対応 例題 188 指数方程式の解の個数[2] についての方程式 4+ (a+1)2 +1 + α+70 が異なる2つの正解を もつような定数の値の範囲を求めよ。 ReAction 文字を置き換えたときは, その文字のとり得る値の範囲を考えよ IA例題76 思考プロセス t=2 [1対1 4+ (a+1)2+1+α+7 = 0 が 異なる2つの正の解をもつ 対応を考える t=2 とおく t2+2(a+1)t + α+7 = 0 が どのような解をもつか? 1つのtの値に1つのxの値が対応 例題187 との違い... f(t)=aの形にすると,式が複雑になることに注意。 + (a+1)2 +1 +α+70…① とおく 182 2x = t とおくと, x>0よりt > 1 であり, ① は ･･･ ② +2(a+1) +α+7=0 底を2にそろえ, 2^= t とおく。 ... t=2* 4 章 x «WAction_f(x) =k の実数解は,y=f(x)とy=kのグラフの共有点を調べよ IA例題 118 与式を変形すると -(2F)2 +4.2 = k ... ① 4'= (2°)*= (2*)2 2x+2 = 2.22 = 42 指数関数 182 2 = t とおくと, t> 0 であり, ① は -12+4t = k .. 2 ここで, t = 2* を満たすx は, t> 0 であるtの値1つに 対して1つ存在する。 よって, 方程式 ① の異なる実数解の個数は, tの方程式 ② の10における実数解の個数と一致する。 ここで,f(t) + 4t とおくと f(t)-(2-2)'+4 方程式 f(t)kの1>0を満たす実 数は,y=f(t) (10)のグラフと 直線ykの共有点の座標である。 y4 y4 Myf(t) のグラフが軸とt>1の範 囲で2点で交わるのは、次の [1]~[3] を満たすときである。 y=f(t) 20個 ・1個 したがって、右のグラフより。 求める実数解の個数は k> 4 のとき 個 k [[1] f(t) = 0 の判別式をDとすると D 2個 10 2 4t 1個 IA ここでt=2を満たすxは,t>1であるの値1つに 対して x>0であるxの値1つが存在する。 よって、の方程式 ① が異なる2つの正の解をもつのは、 tの2次方程式 ②が1より大きい異なる2つの解をもつ ときである。 f(t) =P+2(a+1) +α+7 とおくと、 y y=f(t)| 2/4 = (a+1)-(a+7)= a +a-6 a+α - 6>0より (a+3)(a-2)>0 a .0 noiDAO 2次方程式の解と係数の 関係 α+β=-2(a+1) aβ=a+7 を利用して 判別式 D > 0 (α-1)+(B-1)>0 (a-1)(8-1)>0 からの値の範囲を求め てもよい。 ②を -(a+1), 01 D> 0 V

一対一対応数II微分 赤線部になる理由がわかりません💦

7/27 9 接線の本数 関数 y=x-3.xのグラフについて, (1) グラフ上の点(p, が-3p)における接線の方程式を求めよ。 に (2) グラフへの接線がちょうど2つ存在するような点を (a, b) とする. このとき, (a, b)が ( (中央大商/一部変更) 存在する範囲を図示せよ. 接線の方程式 定点 (a, b) から, 曲線y=f(x) に引ける接線 定点を通る接線を求める を求めるには、曲線 y=f(x)の全ての接線を考え,その中で (a, b) を通るも のを求めるとよい。具体的には、曲線y=f(x) 上の点(t, f (t)) における接 線の方程式y=f(t) (xt)+f(t)に(x, y) = (a,b) を代入して、その式 を満たすようなt を求める. これが,接点のx座標である。 実際に代入すると, b=f'(t) (a-t) +f (t)① この式はについての方程式で、 例えば実数解が2個あれば,それらをx座標とする点において, 点(a, b) を通る接線が2本引ける f (x)が3次関数の場合, ①の異なる実数解の個数と, 定点 (a, b)から曲線y=f(x) に引ける接線の本数は等しい (解答の後の注参照). 曲線y=f(x) 上の点 (t, f (t)) における接線の方程式は,傾きf(t)で, (t, f(t)) を通る直線の方程式なので,y=f(t) (xt)+f(t) y=f(x) (a, b) (エ)\ 解答 (1) C:y=3xについて, y'=3ー3であるから,エ=pにおける接線の 方程式は y=(32-3)(x-p)+p-3p (2) (1) の接線が (a, b) を通るとき, y=(3p2-3)x2p3 b=(3p2-3)a-2p³ ∴.2が-3ap2+3a+b= 0 ・① 点 (a, b)を通り Cへの接線がちょうど2つ存在するための条件は、かの3次方 程式①の解がα, α, β (α,Bは実数で, αキβ) となること･･････ ② である (注) (2) f(p)=23-3ap2+3a+b (①の左辺) とおくと, f'(p)=62-6ap=6p(p-a) であるから,②となるのは、 右図より, a = 0 かつ 「f(0)=0またはf (α)=0」 のとき. q=f(p)| B a p YA a0 かつ「3a+b=0または-+3a+b=0」 \ よって, 点 (a, b) が存在する範囲は a B g y=f'(p)(x-p) + f (p) 3次関数の場合, 接線と接点が1 対1に対応する y=x3-3x3(土)ーは 01 一般に3次関数y=f(x)のグラ フに対して引くことができる接 線の本数は,領域ごとに下図のよ +1913.\s (1071 x=0 かつ 「y=-3x または y=x3-3r」 10 x=0におけるCの接線がy=-3であることに注意し て,これらを図示すると, 右図のようになる (ただし, 白丸は除く). y=-3x 2本) y=f(x)/ 注 3次関数の場合, 接線の本数は①の解の個数に等し いが, 4次関数では, 右図のように, 接線1本に対して接 点が2個ある場合があるので, 3本 1本 we 2本/ 1本 (接線の本数)=(解の個数) は一般には成り立たない I) 1本 3本 2本 9 演習題(解答は p.128 ) る.このとき (α,β) の範囲を求め, 図示せよ ただし, α > 0 とする. 曲線y=x6z2上の4つの異なる点における接線が,いずれも点 (α,B) を通るとす (t, f(t)) での接線が (千葉大・理一後) (α, β) を通るとする. 122

解説お願いします。 (2)の問題で、1行目のマーカー部分の変形をする理由がわからないです。 私は変形しないまま解いて間違えたのですが、変形しないままで正答を出す方法はあるのでしょうか？ 解説が式変形をしている理由と、変形しなくても解ける解き方があればその解き方を教えていただ... 続きを読む

例題 251 定積分で表された関数 合 頻出 ★★☆☆ 次の等式を満たす関数 f(x) と定数 αの値を求めよ。 *f(t) dt = 3x²+x2 ② f(t)dt = 3x-ax+1 *f(t) dt は、 の関数である。 例題 250 との違い … 等式に定積分を含むのは同じであるが、積分区間に変数xを含む * f (t)dt = [F(t)] = ← a = F(x)-F(a) xの関数 見方を変える xで微分すると off(t)dt= = d{F(x)-F(a)}=f(x) dx dx =0 思考プロセス clione x= を代入すると f(t)dt = Action» f(t)dt を含む等式は,xで微分せよ 16(1) a b) (x=th(3) 解 (1) 与式の両辺をxで微分すると, caf*f(t)dt=f(x)より f(x) =6x+1 ・a ( =(1) ① --- 与式にxa を代入すると, "f(t)dt=0 より ff(t)dt=0 を用い (10=3a2+α -2 TAM (3a-2) (a+1)= 0 より 2 るために、積分区間の下 端のαをxに代入する。 a= 3 1536th(+ x 8-= ① LF dt = - [Fa == f(t)dt M(1) (2) 与式は ∫*f(t)dt = -3x+ax-1 ①の両辺をxで微分すると, dxf (edt=f(x)より f(x)=-6x+α ① に x=1 を代入すると,f(t)dt=0 より よって 0= -3+α-1 a=4 ②に代入すると f(x)=-6x+4 積分区間の上端と下端が 一致するようなxの値を 代入する。