数学
高校生
解決済み
285の問題で1より大きいときの場合分けするのはなぜですか？解説の3のところでマイナスを付けて絶対値を外しているのはなぜですか？
。
285 等式 Solx-ax|dx=1/23 を満たす実数 α をすべて求めよ。
[19 東北大]
37 積分の計算 ○○ 79
118 メジⅠⅡABC 受
4
+(3x2 +7x+2)dx
よって
これはa>1を満たす。
4
以上から a=0,
=
x³+
7
3
1
x3
x²+2x]+[x²+x² + 2x
=-2-2+
=206
27
7
18
-1
12/3)+(-1+1/2-2)
+(1+1/2+2)
285f(a) =fox-axdx とする。
x2-ax=x(x-α) であるから
[1] a≧0 のとき
f(a)=f(x2ax)dx
a
a
1
3
2
2+3
aa
33
f(a)=1/2から 1+1/2=1/30
よって a=0
これはα0を満たす。
[2] 0<a≦1の
S(a)=-S=(x2-ax)dx+S'(x2ax)dx
286(1)f(x)=x2+2+xff(dt
-Stf(t) at
S's(tdt=a, S_tf(t)dt=b とおくと
よって
f(x)=x2+ax+2-6
S', s (1) dt = $('at+2-bdt
=2(2+2-b)dt
=2111+(26)
b)t
Jo
=2(+2-6)=14-26
S',f(ndt = $_,{t+ at + (2-bit)dt
=2' at dt=2[3]=a
501-300
ゆえに
14-2b=a, a=b
3
4
.3
x
a
a
-x2
これを解くとa=2,b=
Jei
+
3
Jo
==
a3
3
a 3
1
a
したがってf(x)=x2+2x+2/3
+
3 2
a
3
2
= 3
a
2 +3
(2) 与式の両辺をxで微分すると
f(x)=xlit
=x(x-1)(x+2)
f'(x) =0 とすると x=0, 1, -2
f(x) の増減表は次のようになる。
dxSof(t-1)(+2)dt
73
a
a
f(a)=1/2から
3
2+3
よって
a(2a²-3)=0
x
...
-2
0
***
1
f'(x)
0 +
20
0
+
この式は0<a≦1のとき成り立たない。
f(x)
極小
1
極大
極小
[3] α >1のとき
1
f(a)=-S(x2ax)dx
x3
a
==
3
2
a
(4)=1/2から 1/28-1/2=1/1/3
ここで
a 1
Jo
f(x)=S(+12-2t)dt
3
X4
=
+
3
回答
回答
絶対値を外すのに x²-ax の正負を判別する必要があります
x²-ax = x(x-a)
積分範囲0から1ではxは正ですが、 x-a の正負はaが0より小さい, 0と1の間, 1より大きい、で変わるのでこの3つで場合分けします
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