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(1) 540 の正の約数の個数を求めよ。 ただし, 1 および 540 も, 540 の約数
(久留米大*)
である。さらに,これら約数の総和を求めよ。
(2) 2"5" (m, n は整数) の形の整数で100以下であるものはア個あり、
(長岡技科大)
それらの総和はイである。
ヒント! (1) 540=22×33×5と素因数分解すると, 約数の個数が計算できる。
その総和は等比数列の和の積の形になる。
参考
18の約数の個数について,
0,1 0,1,2
18=20×32より,
(i) 2 の指数は0,1と2通りに,
(ii) 3の指数は 0,1,2と3通りに
変化する。
∴約数の個数は2×3=6個ある。
次に,これらの約数の総和は,
2°×3°+2°×3'+2x32 {2°の系列
+2' × 3° +2' × 3' +2'×32-2′の系列
=2°(3°+3'+32) +2'(3°+3' +32 )
=(2°+2')(3°+3'+3') (キレイな形!)
=(1+2)(1+3+32) =39 となる。
(1)540 を素因数分解して
(0, 1, 2) (0, 1, 2, 3] (0, 1
540=22x30x50
よって, 540 の約数の個数は,
3 × 4×2= 24
さらに,これら24個の約数の総和S は,
S=2°
3°.5°+2°35'
.
+ 2° 3′.5° + 2°3'5'
+2233.5°+22・3'5'
なんでかけ算?
これをまとめて
キレイな形
S=(1+2+22) (1+3+3²+3)(1
=7×40×6=1680........
(2) 2"5" ≦100(m,n:0以上の整数
これは整数なので,m,n が負に
なることはない
(i)n=0のとき, 2" ・5°=2" ≤ 10
m=0,1,2,3,4,5,6 の7通
(ii) n=1のとき、2" 5' = 5.2" s
•
m=0,1,2,3,4の5通り
() n=2のとき,"52=252"
m=0,1,2の3通り
以上(i)(i)(Ⅲ)より,求める2"
の形の整数で100以下のものは,
7 +5 + 3 = 15個存在する。・・・(ア)
次にこれらの総和Tは,
T=5°(2°+2'+2' + ･･･ + 2°
+ 5'(2° + 2 ' + … + 2
+ 52(2° +2'+22)
=(1+2+4+8 + 16 +32 + 64
+5 (1 + 2 +4 +8 +16)
+ 25 · ( 1 + 2 + 4 )
= 127 + 155 + 175
=457...(イ)・
