基礎問
68 第3章 図形と式
water
422円の交点を通る円
2円x2+y²-2.z+4y=0..... ①,_z'+y^+2x=1......②
がある. 次の問いに答えよ.
(1) ①, ② は異なる2点で交わることを示せ.
(2) ①② の交点をP, Q とするとき, 2点P, Q と点 (10) を通
る円の方程式を求めよ.
(3) 直線PQ の方程式と弦PQ の長さを求めよ.
(1) 2円が異なる2点で交わる条件は
「半径の差<中心間の距離<半径の和」です。
(数学Ⅰ・A57)
(2) 38 の考え方を用いると, 2点P, Q を通る円は
(x2+y²-2x+4y)+k(x2+y2+2x-1)=0
精講
の形に表せます。
(3) 2点P,Qを通る直線も(2) と同様に
I
(x²+y²−2x+4y)+k(x²+y²+2x-1)=0&pa
Jel
と表せますが,直線を表すためには, ', y'の項が消えなければならないの
で,k=-1 と決まります.また,円の弦の長さを求めるときは, 2点間の距
離の公式ではなく,点と直線の距離 (34)と三平方の定理を使います.
答
解
(1) ①より(x-1)²+(y+2)^=5
② より (x+1)^2+y²=2
中心間の距離=√2+2°=√8 <3=2+1<√5 +√2
また, √5-√2<3-1=2<√8
.. 中心 (1,-2), 半径√5
中心 (1,0), 半径√2
∴. 半径の差<中心間の距離<半径の和
よって, ①,②は異なる2点で交わる.
(2) 2点P.Qを通
