その問題の場合でしたら、t^2+1は>0なので2t^3は<0、つまりt<0であることがわかります。

なので、2t^3+t^2+1=0を満たすtを探すには、2s^3=s^2+1を満たすs>0を探せばいいわけです。

ところで、二乗と三乗だったら三乗のほうが大きくなるスピードが早いので、sの二乗とsの三乗の差はsが大きくなるにつれて拡大するわけです。

3乗：1→8→27→64→125→216→
2乗：1→4→ 9 →16→ 25 →36
差 0→4→18→48→100→180

なので2s^3=s^2+1を満たすs>0は比較的小さいものになりそうだなぁとなるわけです。

で、試しに一番簡単なs=1のときどうか調べてみると0になると。

これはついでですが、上で見たようにsの二乗とsの三乗の差はsが大きくなるにつれて拡大するので、2s^3=s^2+1を満たすs>0は他にないだろうということも察しがつきます。