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数学 高校生

平行四辺形の平行条件みたいなの使ってるのはわかるんですけど、なぜベクトルを何倍かしたやつをイコールで結んだら平行を表すのかわかりません。公式としては覚えてるんですけど本質がわからない状態です。いわゆる平行ベクトルの本質がわかりません。 他にも質問写真に書いてます。

(0.2.1) である x2+0x(-1) =√13 =√√5 a-acos 60° すなわち y=2x1×1/2 よって y=1 ②、③ に代入して ゆえに (√2+1+2=4 zm1 よって z=±1 したがって =(√2. 1. 1), (√2, 1, -1) が軸の正の向きとなす角を7(0° とすると であるから a+b+1-8 117 (1) OD 30A+40B 34 4+3 (2) OE--20B+50C =√13√√5 であるから √65 [1] = (v2.1.1)のとき よって COST=- a-es Tallel T=60° [2] d=(√2, 1, -1) のとき aes COST [al cal よって T=120° 16とのなす角は60°であるから 1.= || |cos 60° これに =6 を代入して て求めることも a-6=66x=36 D とする。 0.1) 軸, z 軸 から (3) OF 5-2 26+50 --+ == OC+OD 1/2+(+) ++ よって AF-OF-OA ++AE - 119です 解答編 -2a+26-2+2 AB+AD + CB+CDAMN 119 A, B, C. D, P. 2,R, Sの位置ベクトル をそれぞれ おうとすると 2a+b+2 3 20+ よって 2+ -31 PQ=4-7=b+2c 2a+b2-24 RS-2+d 20+ 2c-2a ゆえに STEP PQRS/なぜこれを示したら平行四辺形になるのか 120点 G. H.I.Jの位置ベクトルを, それぞれ そうじゃないとが とすると =a+b+cha+c+d 3 みたいにならない ? またあるから ac=0.1.0-0 ...... [al=6 と ① ② から 0 (a+b+c)-(2a-56) =2/a12-3a-6-5/6/2 =2×62-3×3/6|-5|6|2 =-5|6|-9|8| +72 =(5/6+24) (6|-3) (a+b+c)(2a-56) (a+b+c)-(2a-56)=0 15(2+9+12+9-05-(2-9+9+2+128= (4) OG=OA+OB+OC ++ (5) OH= OA+OB =+ 3 A 線分DGを31に内分する点の位置ベクトルは a+b+c 3+1 線分BHを3:1に内分する点の位置ベクトルは よって GH=OH-OG +37 3a+c+d =9x²=(3+4 Easox-1319 006B E 3+1 (+)-(++) 3) A a+b+c+d BAA-5A A 線分 CIを3:1に内分する点の位置ベクトルは よって 0 であるから このとき、 ①から (5/6+24) (-3)=0 6=3An 118A, B, C, D. M, N の位置ベクトルを それぞれ,b,c,d, m とすると50 AB+AD + CB + CD c +37 1+ 3+1+++ a+b+c+d P G 18 a.b=92-684 =(-a)+(-a)+(b)+(2) =-2a+26-2c+2 線分AJ を3:1に内分する点の位置ベクトルは a+3 ゆえに a+c b+d 3+1 13 b+c+d 4+ N -M また,m=- n= 2 2 であるから a+b+c+d A0-50 B (2+2-2+g·P)+z|2|+z|g|+z|2|= =62+32 +12+2(9+0+0) = 64 = 4MN=4(n-m) (+_+)50+ 4 したがって, 線分 DG, BH, CI, AJ をそれぞ れ3:1に内分する点は一致する。 119 せよ。また,そのベクトルが軸の ||=||=1, とものなす角 STEP B *119 四面体 ABCD において, 辺 AB, CB, AD, CD を 1:2に内分する点を, それ ぞれ P,Q,R, Sとするとき, 四角形 PQSR は平行四辺形であることを示せ。 -o a-56 のなす角は,いずれも90° 1204点A(a),B(b),C(c), D (d) を頂点とする四面体において, △ABC, ae COSαである。 ・c=0, lallel 得られる。 △ACD, ADB, BCD の重心をそれぞれG,H,I,Jとする。 このとき, 4つの線分 DG, BH, CI, AJ を, それぞれ 3:1 に内分する点は一致するこ とを証明せよ。 *121 四面体 ABCD に対して, 等式 AP+3BP+4CP+8DP=0を満たす点Pはど のような位置にあるか。 TIM or = 9x +2y2-8xy-6x+11. また限 ②にg 3) 45

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数学 高校生

102です書きこんでます

て、AC=a, AF 6, AH=とするとき、 おいて、 次の等式が成り立つことを示せ。 *(2) 3BH+2DF=2AG+3CE+2BC AB=d, AD=e, AE= を用いて表してみる。 れのベクトルをa, こで表す。 y,z), 6=(x, 1, -1) のとき, 2-1=0 が成り立つように, x, y, zの値を定めよ。 100 = (1,2,3)=(025) = (1,3, 1) のとき,次のベクトルを sa +to+uc の形に表せ。 (1)=(0,3,12) *(2) g=(-2,29) 1014点 0(0,0,0), A(0, 1, 2), B1, -1, 1), 2, 1, -1) について,次の ベクトルを成分表示せよ。 また、 その大きさを求めよ。 *(1) OA (2) OC *(3) AB (4) AC *(5) BC 102 座標空間に平行四辺形ABCD があり, A3, 4, 1), B(4, 2, 4), C (-1, 0, 2) であるとする。 頂点の座標を求めよ。 6. -4STEP数学Cベクトル AB=a, AD=1. ■E=" とすると _G=AB+BC+CG -b+c =-2a-+46 -2(1.-1. 2)-(2.-1.-2)+4(0, 2, 11 =(-2,2,-4)-(2,-1,-2)+(0.8, 4) =(-4. 11. 2) |-20_(246)=√(-4) +11 +2 =√141 99 246 23. y, z)(x, 1, -1) =(6-x. 2y-1.2+1) 6fc)-(a+b+c) = 24 F-CE-(-4)-(-a-b+c)=2a AG-BH=DF-CE H+2DF 3(-a+b+c)+2(a-b+c). =-a+b+5c + 3CE + 2BC =2(a+b+c)+3(-a-b+c)+25 = -a+6+5c 3BH+2DF =2AG+3CE +2BC a=21. 1,2)=(2, 2, 4) -a|=√2°+(-2)+4=2√6 0, 2, 1)=(0, 6, 3) VO2+62+3=3√5 -1,-1,2)=(-1, 1, -2) √(-1)²+1°+(-2)^=√6 240とすると よって ゆえに (6-x, 2y-1, 2z+1)=(0, 0, 0) 6x=0.2y1=0.2z+1=0 x=6.y=1/22-12/2 100 sa +to+uc =(1,2,3)+0.25)+(1,3,1) = (s+u, 2s+2 +3u, 3s + 5t+m) (1) p=sa+to+uc とおくと (0.3,12)= (s+w, 2s+2t+3u, 3s+5t+m) よって s+u= 0, 2s+2t+3u=3, 3s+5t+u=12 これを解いて したがって s=1,t=2, u=-1 p=a+2_c (2) q=sa+tb+uc とおくと (-2, 2, 9)=(s+u, 2s+2t+3u, 3s+51+u) よって |s+u=-2, 2s+2t+3u=2, 3s+5t+u=9 これを解いてs=-2,t=3,0 したがって q=-2a+3b -4(0.2.1)=(0,-8,-4) VO'+(-8)+(-4) =4v5 -1, 2)+(0, 2, 1) A (2) OC (2,1,-1) 1, 3) 1' +12 +32 = VII 2, 1)-(1, -1, 2)-A-TA 1,3, -1) (-1)+3°+(−1)=VIT 1,-1, 2)+30, 2, 1) 2,4)+(0,6,3) 4. 7) 23+4+7=√69 -30, 2. 1)+(2,-1,-2) 0.6.3)+ (2 -1, -2) (1-)+(6-)+9 A 101 (1) OA (0, 1, 2) - |OA| = √O2+12+2=√5 |OC|=√22+12+ (−1)²=√6 (3) AB (1-0, -1-1, 1-2)=(1, -2, -1) |AB|=√12+(-2)+(-1)²=√6 (4) AC=(2-0,11,12)=(2.0-3) AC (5)BCは同じように飛 ゆえに (-5.-2.-2) (x-3. y-4, 2-1)=(-5, -2, -2) x-3=-5, y-4-2, 2-1-2 よって x=-2, y=2, -1 これを解いて。 したがって、頂点の座標は(-2.2.1) 103 与えられた3点A, B, Cをもつ平行四 辺形は複数考えられることに注意する。 それぞれの場合で 四角形が平行四辺形にな る条件を考える。 条件を満たす平行四辺形は [1] 平行四辺形ABCD [2] 平行四辺形 ABDC 平行四辺形 ADBC の3つの場合が考えられる。 頂点の座標を (x, y, z) とする。 [1] 四角形 ABCD が平行四辺形であるための必 要十分条件は よって ゆえに AD = BC (x-3, y-0, z+4) =(4+2, 3-5, 2+1) x-3=6, y=-2, z+4=3 したがって x=9, y=-2,z=-1 SA -27 よって、はた一のとき小 をとる。 √導をと 105 +xb+ ye [2] 四角形 ABDC が平行四辺形であるための必 AB=CD 要十分条件は よって (-2-3, 5-0, -1+4) ゆえに したがって +=(x-4. y-3, z-2) 5=x-4,5=y-3.3=z-2 x=-1, y=8,z=5 (4) =(1,-1, -3)+x2.21)+y-1.1.0) [3] 四角形 ADBC が平行四辺形であるための必 AD=CB 要十分条件は よって (x-3, y-0, z+4) ゆえに したがって =(-2-4, 5-3.-1-2) x3=-6,y=2, z+4=-3 |x=-3, y=2, z=-7 [1]~[3] から, 頂点の座標は =(2x-y+1.2x-y-1. x-3) よって (9, -2, -1), (-1. 8, 5), (-3. 2, -7) 104 =a+b=(0, 1, 2)+(2. 4. 6) 58 =(2t,1+4z, 2+6t) 一番見ました (20+(1+4+2+64)。 IBC|=√1+2+(-2でしょうか。 102 四角形ABCD が平行四辺形であるための必 要十分条件はAD=BC である。 頂点の座標を(x, y, z) とすると AD=(x-3, y-4, 2-1) BC=(-1-4, 0-2. 2-4) =56t2+32 +550 22 3A-7 t+ \a+xb+ ye =(2x-y+1)+(2x-y-1)+(x-3)^ =(2x-y) +2.2x-y)+1. 2x2x)+1+(x-3) =2.2xy+(x-3)+2 2. la+b+ ye³ it 2x-y=0. x-3=0 STEP A・B、発展問題 のとき、すなわちょ=3. y=6のとき最小となる。 a + + ye120 であるから、このとき a+x+ycelも最小となる。 よって、 求めるxyの値は 106 平行六面体を ABFDCEHGとし、 ゆえに、は1=2のとき最小値をとる。 20であるから,このときも最小となる。 座標空間の原点を0と する。 x=3y=6 AB-(0-1, -4-1, 0-2) =(-1.-5,-2) AC=(-1-1, 1-1-2-2) =(-2.0.4) AD=(2-1, 3-1, 5-2) =(1,2,3) 四角形 ABEC, ABFD, ACGD, BEHFは平 四辺形であるから OE = OB+BE = OB+AC =(0, -4, 0)+(-2, 0, -4) =(-2,-4,-4) OF = OB+ BF = OB+AD =(0, -4, 0)+(1, 2, 3) =(1,-2, 3) OG=OC+CG=OC+AD =(-1,1,-2)+(1,2,3) =(0, 3, 1) OH = OF + FH = OF +AC =(1, -2, 3)+(-2, 0, -4 =(-1,-2,-1)

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数学 高校生

写真にわからないこと書き込んでるんで読んでくれたら幸いです。集合についての感覚的な話です

文読解 (AAHOME)-As -- -+s. より 講座 五 BFDIHの面積) (△ABCの面積)(ACDFの面積)+(△AHIの面積) 新 -s-(+) よって、五角形BFDIの面積は△ABCの面積の 53 | 120 倍 である。 第4問 場合の数と確率 以下では、集合に属する要素の個数をn(X)です。 東向きに1マス進むこと、北向きに1マス進むことをそれぞれ 記号 で表すことにすると、地点Aから地点Bへ行く最短 経路は6個のと4個のの順列で表される。 同じものを含む よって、地点Aから地点Bへ行く最短経路全体の集合をひと すると, のものがありがm.. m... である とき、これらのものを並べてで きるのは (201210 (通り)、 の部分集合のうち、 (++) 道路を通る最短経路の集合をS. 道路を通る最短経路の集合をT とする. 道路を通るものは, ACは、 A→C→D→B に2マス。マス。 と移動する経路であるから, CDは, n(S)-1-313 東に1マス。 DBは、 60 (通り) に3マス。 3マス。 また、道路を通るものは, AEは、 A→E→F→B 東に5マス, 北に2マス。 と移動する経路であるから, EFは, 北に1マス。 n(T)-11-21 FBは、 42(通り)。 東に1マス、北にマス <-14- MN Copyright O Kasijsku stimal tutis さらに、道路のどちらもるものは A→C→D→E→F→B と移動する経路であるから。 (SOT)・1・1-21 18 (通り)。 DEは。 マス。 これより、道路の少なくとも一方を通るものは、 n(SUT)-n(S)+n(T)-n(ST) の部分 <-60+42-18 84 (通り)。 (2)道路のどちらもないものは (ST)-(SUT) -n(U)-n(SUT) -210-84 12通り。 モルガンの (3)んだ路が道を通り、かつ路を通らないものであるsn 確率は。 P(SNT) SOT) (S)-n(ST) -60-18 210 5 (4)(i) 地点 B へ行くのに 11分かかるものは、 道路を通り, かつまらない経路 (イ) 道路を通らず,かつ道路を通る経路 のどちらかである。 を選ぶ率は、 ①である。 P(SNT)-(507) n(U) n(T)-(507) 42-18 210 D 全統記 集合は次の親掛け部分、 問題 した場合や、解 90° Copyrights Ed Ition × 40°-(90°. D=BL A Cos &= 2 数学Ⅰ 数学A 60 -18 第4問 (配点 20) 数学Ⅰ 数学A (2) 太郎さんと花子さんは, 道路 s, tのどちらも通らないような最短経路の数につい 地点Aから出発し, 分岐点では東向きまたは北向きに進んで地点Bへ行く最短経 路を考える。 図1のような格子状の道路と六つの地点 A, B, C, D, E, F がある。 地点Cと地 点Dを結ぶ道路をs, 地点Eと地点Fを結ぶ道路を1とする。 て考えている。 2 36 太郎図1を使って地道に数えるのは大変そうだなあ。 76 花子 図2を利用して考えてみようよ。 |F E S C ID 図1 B 北 2100 (1)/ 地点Aから地点 B行く最短経路はアイウ通りであり,このうち である。 道路を通るものは通り 道路s, tのどちらも通るものはカキ通り (4 道路s, tの少なくとも一方を通るものはクケ通り 東 地点Aから地点Bへ行く最短経路全体の集合をU, 道路を通る最短 経路の集合をS, 道路を通る最短経路の集合をTとすれば, s, tのど こちらも通らない最短経路の集合はSOT と表せるよ。 S, T はそれぞれ Uに関するS, Tの補集合だよ。 太郎: 集合 X に属する要素の個数をn (X)で表すことにすれば, 求める最短 経路の数は n (SnT)だね。 花子:ド・モルガンの法則によって SnTSUT だから, n (SUT) を求 めればいいことになるね。 U 図2 (数学Ⅰ 数学A第4問は次ページに続く。) 地点Aから地点Bへ行く最短経路のうち, 道路 s, tのどちらも通らないものは コサシ通りである。 <-27- (数学Ⅰ. 数学A第4問は次ページに続く。)

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数学 高校生

青チャート数2BCのベクトル基本5です。 模範解答通りではありませんが、自分の立式の間違いがどこか分からず3回程度解き直しています߹ ߹

基本 例題 5 ベクトルの分解 |正六角形ABCDEF において, 中心を0, 辺 CD を 2:1に内分する点を P,辺 00000 EFの中点をQとする。 AB=a, AF6とするとき, ベクトル BC, 頭 AC, BD, QP をそれぞれa, で表せ。 p.586 基本事項 合成 P+QPQ ■Q-P=PQ 指針 ベクトルの変形においては,右のことが基本。 分割を利用することにより BC=BO+OC しりとりのように変形。 TT ここで, 平行な辺 (線分) に注目することにより, BO=AF = 1, OC=AB=a であるから, BC は a,” で表される。 分割 PQ=P+Q. PQ=Q-P 向き変え PQ=-QP PP = 0 ・・・ 同じ文字が並ぶと このようにまたはに平行なベクトルの和の 形に変形することがポイント。 注意 正角形の外接円の中心を正n角形の中心という。 #EXE +0, b を満たす 2 (2a+36) 03 1辺の長さ また,∠P OA, OB 解答 CHART ベクトルの変形 合成・分割を利用 BC=BO+OC=1+a =d+6 B EF=EO+OF=-a =-a-b CÉ-CO+OE =-a+b AC=AB+BC=a+(a+b) =2a+b BD=BC+CD=(a+b)+b =a+26 QP=QE+ED+DP=1/2BC+α-1/26 =(a+b)+à-16 3 C D 別解 四角形 ABCO. 04 平行四辺形 とする。こ ABOFは平行四辺形であ a 1 iF るから |BC=AQ=a+6 Q EF=CB=BC=-a-6 E 13 既に求めた BC を利用。 既に求めたBCを利用 DC. DCYAF DP= で、DPは君と反対の って △ABCにお ような形か れとの 61辺の長さが BE の交点を AC=xとする (1) FG-2-3 (2)xの値を (3)ACAF = a+ 16 参考 CE=BF=AF-AB=6-aとして求めてもよい。 きであるから DP--+ それぞれで に内分する 1 2 3 a=0, 7 4 S =1と まず まず O

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数学 高校生

485 ノートみたいな解き方したらなんで全部ゼロになってできないんですか?

5+3=0,3+3=0/3+d=0 これはキを満たす) f(x)=- 2 15 2x+3 また、[2]から これらを解いて 「f(x)dx=-2 ② 0, c=-4 コ) とおく。 したがって 485g(x)=px+g (カキ0) とおく。 589xdx -1) (px+g)dx =f(ax +bx+1),px- = (ax + bx²+x)dx+4 (ax2+bx+1)dx a+b+c+d=1 3 a=- = b=0, c=-- , d=0 (これはa0 を満たす) 5 よって P(x) = 3 (3) (x)=(2x-1(z)\de \xf(t) dt +2(t)dt (4) f(x)=1+(x-1)f(t)dt 46 関数 f(a)=(6x+ +4ax+a^)dx の最小値を求めよ。 定積分を計算するとαの2次式になるから、 平方完成して最小値を求める。 (a)=(6x²+4ax+a") dx=2x²+2ax²+a'x =2+2a+o²=(a+1)+1 ゆえに、f(a)はa=1で最小値1をとる。 現代文単語』 考査・ P.74-81 P.B2- 487 針 解法 + がに無関係であるとき 定積分の性質によ xf(t)dt=xff(t)dtと変形できる。 488 f(a)=(2ax²-ax) dx aの式で表せ。 また、f(a) の最大値を求めよ。 (1) Sof(t)dta とおくと f(x)=x+a よって 489 f(0) = 0, f (1)=1 を満たす 2次関数f(x) のうちで(f(x))dx を最小に するものを求めよ。 f(x)+Sog(t)dt=3x2+2x+1, e+1.4xf(x)=g(x)+4x を満たす関数 f(x), 2- Ta =(+) I +1+1/+1 Ho よって、条件から 2- +1/+1/2)+(1/3+/+1)=0 任意の (0),gに対して成り立つ。 b ゆえに 1+1/+1/2=0.1/+1/+1=0 0, 32 a b これを解いて a=6,b=-6 15277 (27-1) X=1 Sof(t)dt=S(1+a)dt = [1/2+ar]=12+30 P.176-10 d 00 9 490 ゆえに、2/23aaから 144 a=- 4 g(x) を求めよ。 9 したがって f(x)=xm2 章 491 関数f(x)=S (3t2-4t+1) dt が極値をとるときのxの値を求めよ。 |492 関数 f(x)=S_st2_ (t-1) dt のグラフをかけ。 微分法と積分法 4930≦x≦4 のとき, 関数f(x)=(- (t-1) (t-3) dt の最大値、最小値を求めよ。 *485 f(x)=ax2+bx+1 とする。 任意の1次関数 g(x) に対して,常に Sof(x)g(x)dx=0 が成り立つとき,定数a,bの値を求めよ。 ✓ 486 次の2つの条件を同時に満たすxの3次の多項式P (x) を求めよ。 [1]任意の2次以下の多項式Q(x)に対してS,P(x)Q(x)dx=0 [2] P(1)=1 □ 494 不等式 {f(x-a)(x-b)dx=f(x)dxf (x-1 ヒント 494 左辺と右辺をそれぞれ計算し、差を考える。 x-b) dx を証明せよ。 また,等号が成り立つのはどのような場合か。 ただし, a, b は定数とする。 -2x 2 =-(3x (-1) +80 12 2C=6 C:3 49-15 a:15 ✓よってfa)=4xt/485g(x)=tx+c (ax+ax+D)(x+c) 45g(x)=tx+c(ax'+x+1)(x+c) tax+tax2+x+cax+acxtc tax3+(catta)(x²+(ttac)xt.c tl=2atata 0=203-20-1 qutt = (catch)t Atten 1+c=0 C=0 at=0 Cafth-0 ++AC=0 [& tax + = (catth) x² + ₤ (t+hc) x²+ cx]!) t=0 WA 1548 AAXIS

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