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464 第8章 整数の性質
例題263
考え方
解
1=1+3=2
(1) ただ1つの有理点(x,y座標がともに有理数である点)しか通ら
(2) a,bを異なる自然数とするとき, 2点A(a,0), B(0, 6)
ない直線の例を1つ挙げよ.
線分AB (両端を除く)の上の格子点 (x,y座標がともに整数であ
×
練習
263
2点A,Bを通る式
y = -√2/(x-0)+b
格子点
る点)の個数は,α, 6 の最大公約数をc とすると, c-1) 個であ
ることを示せ .
(1) まず、ただ1つ通る有理点を考える. ここでは原点を通る直線として考える。
|
(2) 線分ABの方程式を考え,それと a, bの最大公約数cを考える。
(1) y=√x (有理点(0, 0) のみ通る)
22 Je
(理由) (00) 以外の有理点 (xo,yo) (x≠0) を通ると
yo=√3x0 となる.
1211
をす
すると,
ここで、一番となり、
(2) 線分ABの方程式は,+1=1 (x>0,y>0)
a
a,b の最大公約数はcであるから,
[a=ca'
(α'′,6′' は互いに素)
|b=cb'
b 08
x + とおける.これをABの方程式に代入して,
D
y 1÷0
b'x
ta'
なってしまい矛盾する.
したがって (0, 0) 以外の有理点を通らない.
+
ca' cb'
となり,√3が有理数と
とおける.同様に,
=1.① より,
6'x
a
右辺は整数,yは整数より,
互いに素より, xはα'の倍数,すなわち,
x=ka' (kは自然数)
これらを①に代入すると,
1+1=1より,
C
C
RELO
l' (lは自然数) とおける.
Ex
k+1=c....... ②
背理法で示す。
Xo, yo が有理数より
Yo は有理数
Xo
1つも有理点を通らない
直線は, y=√x+v
など.
線分なので, x,yの組
囲に注意する.
YA
B(0,b)
+y=cb'
も整数,α'と'は分数のところに注意
る.
0
A(a,0)
② を満たす正の整数 (k,l) は,
(1, c-1), (2, c-2),
(c-1, 1)
よって,題意を満たす格子点の個数は, (c-1) 個である.
注 (2)の結果より, a, bが互いに素のとき, 線分AB上には格子点が存在しない.
次の(1), (2)について でその
挙げよ.
