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213. 振り子と円運動 図のように, 軽い糸の一端
を点0に固定し、 他端に質量mの小球をつける。 点
0から鉛直下向きに距離 α はなれた点Pには, ピン
がつけられている。 点0と同じ高さの点Aから小球
を静かにはなすと, 小球が最下点Bを通過するとき
に糸がピンにかかり, 小球は点Pを中心とする半径
もの円運動を始めた。 その後, 小球が図の点Dを通
過した直後に,糸がたるみ始めた。 重力加速度の大
きさをgとして,次の各問に答えよ。
B
(1) ∠CPB が0となる点Cを通過するときの, 小球の速さvc を求めよ。
(2) 小球が点Cを通過するときの, 糸の張力の大きさを求めよ。
(3) ∠DPB を αとして, cosa の値を求めよ。
(13. 島根大
m
ヒント
213 (2) 半径方向について, 円運動の運動方程式を立てる。
a
yang (078) = — you? - Jag bross
2/1² = 9 (0.18) - gb(050
u² = 2g f (0-487 ecosof
b.
A
m
Bの位置を最下点としたら
ダメミ
213. 振り子と円運動
解答
2a
(1) √2g (a+bcos) (2) mg(2g+3cose) (3)
3b
指針 小球は,重力と糸の張力を受けて、 鉛直面内で円運動をしてい
る。 糸がたるみ始める点Dでは, 糸の張力が0となる。 この一連の運動
において, 小球は重力 (保存力) だけから仕事をされるので､力学的エネ
糸がピンに触れても、
糸の張力は小球の運動方
向と垂直であり、 仕事を
しない。そのため、 力学
的エネルギーは保存され
る。
ルギーは保存される。
解説 (1) 点Cの高さを重力による位置エ A
ネルギーの基準とする。 点AとCとで､力学的
エネルギー保存の法則の式を立てると(図1)。
mg (a+bcos0)=mv²
bcoseb
©点Cを基準とした点A
の高さは、a+bcos0 と
なる。
22g (a+bcos0)
図1
0 なので,
(a+bcos0 )
c=√2g
(2) 小球が点Cで受ける力は,重力と糸の張 P
力である(図2)。 円運動の半径は6なので,
半径方向の運動方程式は、
m=T-mgcoso
運動方程式ド
(1) の を代入して整理すると
2g (a+bcos0)
m
-=T-mg cos0
の右辺は、 向心力を表す。
向心力は、円の中心点
P)を向いており, 大き
さはT-mgcos/である。
mg cost
mgs
b
図2
2a
T=mg-b
-+3 cose)
(3) 点Dで糸がたるみ始め, このとき, T=0 となる。 (2) のTの式に
T=0,0=α を代入して,
○小球は、糸がたるみ始
める瞬間までは円運動を
しているので、 (2) の式
を利用できる。
2a
0=mg(2+3cosa)
36
a
b
0
A
D
V2g Fate (1-cos)}
