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■ 14 第 1 章
1-8710
56
2
A
Nは一致
解答編
13
針■■■■
(2) △ABCの面積をSとして, △PBC.
△PCA, △PABの面積をS で表す。
(1) AB=1, AC=c, AP=とする。
等式から 5p+46_T)+3(_ = 0
ゆえに
p=
4+3c
12
=
7 4b+3c
x
12
7
7
4b+3c
=
×
3+4
したがって, 辺BCを3:4に内分する点をDと
すると、点Pは線分ADを7:5に内分する点で
ある。
(2)△ABCの面積をSA
APBC= -S
CC2の中
とすると
5
12
17
, それぞ
7
PK
△PCA= AADC
12
15
B3 D
12
=/s
△PAB=
-△ABD=
D=1/2x9s=1/25
△PBC: △PCA:△PAB= I2S:
12
よって
+
①の
ペトル
STEP B
*52 ∠A=60°, AB=8, AC=5 である △ABCの内心をIとする。 AB
AC = とするとき, AIを,こを用いて表せ。
53 △ABC の辺BC, CA, ABの中点をそれぞれ A1, B1, C, とし, 平面上
意の点0に対し, 線分 OA, OB, OC の中点をそれぞれ A2, B2, C2とすみ
線分A1A2, BiB2, CiC2 の中点は一致することを証明せよ。
*54 △ABCの重心をGとするとき,この平面上の任意の点Pに対して,等式
AP+BP-2CP=3GC が成り立つことを証明せよ。
55/ △ABCと点Pに対して,次の等式が成り立つとき,点Pの位置をいえ。
*(2) AP+BP+CP=0
*(1) PA+PB+PC=AB
(3) PA+PC=AC
例題 5 △ABCと点Pに対して,等式 6AP+3BP+2CP=0が成り立つと
き, 点Pはどのような位置にあるか。
指針等式からPの位置ベクトルを表す式を導き, その式からPがある線分の内分点である
ことなどを判断する。 解答ではAに関する位置ベクトルを考えている。
･･･
[解答 AB=6, AC=c, AP= とする。
6 ベクトルと図形
一直線上の点
2点A, B が異なるとき
点Pが直線AB上にあるAF
ベクトルの相等
s, t, s', 'は実数とし, 0, 0
特に
sa+t6=s'
sa+tb=0
S
OA=a, OB=6, OP=3a-
証明せよ。 ただし, a = 0, E
OA=-2a, OB-4a, OC
とき 次のことを証明せよ
する。
(1)3点 0, A,Bは一直
*(3)3点B,D,Eは一
9 3(1, x), (x, 0), (
DA
分する点
57 AB=OB-OA
=b-a
=5:4:3
AP=OP_OẢ
=(3a-26)-a
=2a-26
=-26-a)
よって AP=-2AB
ゆえに、点Pは直線AB上にある。
J
(08
注意 0, 0, aとは平行でないという
条件から, 直線AB の存在が認められる。
等式から
65+3(-5)+2(p-c)=0
よって
b==
11、
したがって, 辺BC を2:3に内分する点をDとすると,
点Pは線分AD を 5:6 に内分する点
36+2c 5 36+2c5
11
36+2c
×
5
11
2+3
B -2- T
✓56 ABC と点Pに対して, 等式 5AP+4BP+3CP=1 が成り立っている。
(1) 点Pの位置をいえ
を求めよ。
(1) 2a+sb=ta-b
*(3) c=a-26, d=
(2)△PBC: △PCA: △PAB を求めよ。
61 △ABC の辺 AB,
# C
52
53
56
線分AiAz, BiB2, CiC2 の各中点の位置ベクトルが一致することを示す。
(2)三角形の面積の比は, 底辺の長さが等しければ高さの比に等しく,高さが等しけれ
ば底辺の長さの比に等しい。
角の二等分線の性質を利用。 △ABCにおいて,∠Aの二等分線と辺BCの交点をDと
すると BD DC=AB: AC
する。 更に, Ai
A2, B2 とする。 こ
ヒント
61
ABAB とな
TAE+1-1+ B+
58 (1) OB-4a=-20Ad
る。
よって, 3点 0, A, B は一直線上にある。
(2) AC=OC-OA
=(2a+46)-(-2a)
=4(a+b)
