練習問題 9
(1) 0≦x≦1 において
1
1+x2
1
≤1
1+x4
であることを示せ.
(2)次の不等式が成り立つことを示せ.
π
1
-dx≦1
01+x4
2-
精講
1
は 「積分できない関数」 ですが,これをうまく「積分でき
1+x4
る関数」ではさんであげましょう.それを用いると,
1
1+x4
-dx の 「だいた
「いの値」 がわかります.
解答
(1) 0≦x≦1 において
0≤x≤x²
なので、全ての辺に1を加えると
1≤1+x≤1+x²
逆数をとれば
x²-x=x²(1-x²) ≥0
(0≤x≤1 )
1
を考えてみる
1+x2
1
1+x4
「分母が大きい方が
≦1
値が小さい
めることが