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550
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基本 例題 112 群数列の応用
7188.9
1
4
3
2
5
6
9
2'2'
3 3
3
4
初項から第210項までの和を求めよ。
10 11
4.4.4.4.
"
[類 東北学院大]
指針 分母が変わるところで区切りを入れて, 群数列として考える。........
: 112, 213, 3, 314, 4, 4, 41-5; -²-1-Labsul
4個
3個
1個 2個
第n群には,分母がnの分数がn個あることがわかる。
分子: 1|2,3/4, 5, 67, 8, 9, 10 | 11,
分子は,初項1,公差1の等差数列である。 すなわち,もとの数列の項数と分子は
しい。
飲みえてく
まず,第 210 項は第何群の何番目の数であるかを調べる。
うに規則性に注員
=(5-(I-N)+(1+
解答
-
分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。
って、
34
1 | 2
440
9
5 67 8 1011, ....
11/21/1
12'23'3'34'4'4'45'
第1群から第n 群までの項数は
1+2+3+..+n=
1336-
第210項が第n群に含まれるとすると
ゆえに, 求める和は
1/1/- (n-1)n<210≤ n(n+1)
2
20
20 k2+11/ 20
k=1
2
/n(n+1)
CHART=1445
- | Lotosalud meubuh s
......
00000
・の分数の数列について、
ti
20
1/20・21・41
=
1¹ (R²+21) = ¹ (20·21.4¹ +20)
2k=1
2
6
k=1
E
n² +1
2
Het
よって
(n-1)n<420≦n(n+1)
Tald
(n-1)n は単調に増加し, 19・20=380, 20・21=420 であるから.
① を満たす自然数nは
n=20
L
また,第 210 項は分母が20である分数のうちで最後の数であ 1/23・20・21=210
る。ここで,第n群に含まれるすべての数の和は
HEGO
1/12/12/12/n(n-1)+1}+(n-1)・1)÷n=
もとの歌詞
もとの数列の第k項は分
36636670771 n(n+1)
[08-—S- (1-0) + | +91=²51) 20
第1
子がんである。
また、第
群は分母がんで、個の数
を含む。
これから、第
108
O IGPa 108
目
(2)
群の最後の
925
FERRY
[①]
は第群の数の分子
の和→ 等差数列の和
n{2a+(n-1)d)