例題 54
背理法による証明 [1]
(1) √2は無理数であることを証明せよ。 火
(2) (1) を利用して, √2+2が無理数であることを証明せよ。
思考プロセス
無理数であることを一般的に式で表すことはできないから, 証明しにくい。
Action » 無理数であることの証明は, 有理数と仮定して矛盾を導け
目標の言い換え矛盾を導くことを目標とする。
「√2は無理数でない」
と仮定
矛
(2) 「√2が無理数 √2+2 が無理数」 を示すと考える。
(1)
解 (1) √2が有理数であると仮定すると
m
292
=
[頻出]
★★☆☆
$130= Sho+0² (1)
「√2は無理数でない」
という仮定が誤り
こない) → 「√2は無理数である」
NE
「無理数である」の否定は
「無理数でない」 すなわち
(mとnは互いに素な自然数) とおける。 「有理数である」となる。
n
2つの自然数m,nが1
両辺を2乗して分母をはらうと 2n² = m²
･①
以外に公約数をもたない
とき、mとnは互いに素
nは整数であるから, m² は2の倍数である。
よって
であるという。
は2の倍数となる。
例題 53 (1) 参照。
m=2k(kは整数)とおくと, ① より
2n² = (2k)2
n² = 2k²
(S)
すなわち
k2 は整数であるから, n2は2の倍数である。
よって
は2の倍数となる。
ゆえに,m,nはともに2の倍数となり, 互いに素であ
ることに矛盾する。
Tes
したがって,√2は無理数である。 S
Fo
mnはともに2を約数に
もつから、mとnが互い
に素であることに反する。
:S)+(S\ + I) (S)
