＿日本人・中国人には、理解しづらいかもしれませんが、（殆どの言語では）文字は音を表しています。表音文字です。つまり殆どの言語では、平仮名・片仮名に対応する文字しか持っていません。
＿しかし、数学で使う文字は、意味を持った記号・文字です。数学と言うのは、語学なのです。そして、その文字・記号を用いると、皆が同じ1つの意味を指し示す様にと、記号・文字は極めて厳密に決められています。

＿ですから、1+1=2であることを証明するには、+がどの様な意味事を意味するのか、を厳密に定義する必要があります。
＿演算の「閉じている」・「開いている」、代数学の写像、Peanoの公理など、事前に必要な知識は多岐に亘(わた)ります。

＿ですから、まず代数学を学んだ方が良いでしょう。
＿すると、0（zero）が特殊な数字であり、インドの0の発見、などと態々(わざわざ)言うのか、が分かって来ます。

＿ざっくり言うと、自然数+自然数=自然数(あまり前の事ではありません。自然数-自然数は、自然数ではない場合があるからです。1-4=-3となり、自然数ではありませんね？)となる、自分の集合の中への単一写像として定義された+は、閉じている。そして、+1とは値が1増えた後継写像として定義される。そして、2は1より値が1大きいものとして定義されている、と言うことです。