重要 例題 51 反復試行の確率 P の最大
10本のくじの中に2本の当たりくじがある。当たりくじを3回引くまで繰り
返しくじを引くものとする。 ただし,一度引いたくじは毎回もとに戻す。
n≧3とし, n回目で終わる確率をPとするとき
[類 名古屋市大]
(1) Pn を求めよ。
(2) Pn が最大となる n を求めよ。
●基本 47,49
CHART & SOLUTION
確率の大小比較比
(2)Pが最大となるnの値を求めるには,Pn+1とPn の大小を比較すればよい。
確率の問題では,Pn が負の値をとらないことと, Pnの累乗を含む式で表されること
をとり, 1との大小を比べるとよい。
Pn+1をとり,1との大小を比べる
APP
Pn+1
Pn
から、比
TA KIH
解答
(1) 回目で終わるのは, (n-1) 回目までに2回当たりく
じを引き, n回目に3回目の当たりくじを引く場合である。
OK
よって
3800
P₁=₁-1 C₂ ( 10 ) ( 10 ) " Xx
22/8 \n-3 2
Czl
n-3,
10年
-2 (1/3)^(1/1)(n≧3)
(2) Pl={n(n-12(14)^2(1)}={(n-1)/n-2)(1/3)^2(1/2)}
[大葉立共] _(n-1)(n-2)
2
4n
5(n-2)
\5,
Pn+1>1 とすると
Pn
すなわち 4n>5(n-2)
4n
5(n-2)
(n−1)(n−2)
ALBA
->1
これを解くと n <10
Pn+1−1 とすると n>10
Pn
Pn+1
+=1 とすると n=10
Pn
よって, 3≦x≦9のとき
n=10
のとき
11≦n のとき
DŽK P3<P₂<...<P9<P10=P11, P10=P11>P12>····..
したがって,P, が最大となるnの値は
n=10,11
Pn<Pn+1,
Pn=Pn+1,
Pn>Pn+1
-40
(2) Pn+1
{(n+1)-1}{(n+1)-2}
2
'4\ (n+1)-3/1 \3
XI
Pnのnの代わり
に n +1とおいたもの。
5(n-2)>0であるから,
不等号の向きは変わら
ない｡
P"の大きさを棒の高さで
|表すと
増加
34
9
最大
12
1011
減少
n
