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56 第1章
例題21
数学的帰納法と極限
a²+5
(n=1, 2, 3, ...)
(2)(1)で示した 1<a, 4 を利用できるように, m+1-1=
a²+5
解答
(I) n=1のとき, α=4 より ①は成り立つ
数学的帰納法で
(Ⅲ)n=k のとき,①が成り立つと仮定すると,
1<a≦4
+5
+54°+5
より
6
6
6
21
つまり、
Kan+-
<4
6
したがって, n=k+1 のときも① は成り立つ。
よって、(I), (II)より, すべての自然数nについて
1<a≦4 が成り立つ。
3.各辺を6で割る。
2.各辺に5を加える
A
る。
(3)(2)で示した不等式を利用して、 例題17 (p.47) と同様にして極限値を求めればよい
(1) 1<a,≦4... ① とおく.
6
0=4, Or+1=6
で定義される数列{a}について,次の問いに答えよ .
(1) 1<a,≦4 を示せ.
(3) lima を求めよ.
5
(2) ax+1-1≤ (an−1).
考え方 (1) 数学的帰納法を使う.
n=k のとき, 1<a,S4 が成り立つと仮定して、
nk+1のときも成り立つことを示す。
(3)②より4-1s(._,-1)
なんで
2条になるのです
2条になるので(
****
1 無限数列
57
-2-1)
<)ある
第1章
S
10=4
これと (1) より
つまり。
0<a.-153()
\1
5\"
-1の右辺を変
ここでlim3
うちの原理より
=0 であるから, ③とはさみ
1-00
はさみうちの原理を
利用する
lim (a,-1)=0
よって,
lima=1
Focus
予想した lima, の値を利用せよ
no
より, lima+1=lim a²+5
(2) +1-1=-
02²+5
-1
mim 6
00
0
6
したがって.
a=
a²+5
6
これより
α=1.5
(1) より
a=1
「仮定した式について
1.各辺を2乗する。
注2)による誘導がない場合は,次のように考えるとよい.
lima=α とすると,
漸化式 +1=
a²+5
6
極限値をα とおいて,
αの値を予想する.
lima.=ab,
lim4+1=α
a-1
6
=(a+1)(a)
m
ここで、1<a.4より、
a.+1 4+10
6
6
a.+1 5
6
6
(a+1)(a,-1)≤(a−1)
よって, a1= (a,-1)②
m
+1-1と
am - 1 の
100
関係式にする.
因数分解して次数を
下げるのと同時に
A
(-1) を作る.
各辺に1を加えて 6
で割る。
する
30 131≤lima, a≤4
と予想できるので, lima=1 を示す.
注》例題21の(2)で出てくるという値は何を意味するだろうか.また,例題 21 では,上
手に不等式の評価に持ち込み,その後,その不等式を繰り返し 最終的には「はさ
みうちの原理」を用いて{a}の極限値を求めている. このことを次ページの解説で
もう少し分析してみよう.
練習
an>1より、
a1= 0, an+1=
21
a2+3
4
(n=1, 2, 3, ......)
10-1>0
**** で定義される数列{a}について、 次の問いに答えよ。
(a) F (8)
(1) 0≦a<1 を示せ.
(3) liman を求めよ.
00
(2)1-ant <= を示せ.
1-an
2
→p.6111
