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く昭
FocusGold 3
ら×
T
62 第1章 式と曲線
例題
24 直交する2つの接線の交点
格円
x?
y?
-=1 上にない点P(p, q) からこの格円に引いた2本の
17
8
接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ。
接線がy軸に平行な場合とそうでない場合に分けて考える。
y軸に平行でない場合,2つの接線の傾き m,, m, が mm:=-1 となることを利
用する。
考え方)
Pから引く接線がy軸と平行でないとき,すなわち,
がキ17 のとき,接線は,
y=m(x-p)+q
解
22.
V17
x
x?
とおくことができる。これを
17
-=1 に代入して、
ーV17
ニ2/2
8
8x+17(m(x-p)+q}"=17·8
したがって、
(17m*+8)x°+2-17m(q-mp)x+17{(q-mp)°-8}=0
この2次方程式の判別式をDとすると,Pから引く接
線が格円に接する条件は, D=0,つまり,2次方程式が重
解をもつことである。
=17°m°(q-mp)-(17m*+8)·17(qーmp)*-8}
=-17{17m(-8)+8(q-mp)*-8°}
=-17-8{-17m+(q-mp)*-8}
したがって、
-17m*+(q-mpか)-8=0
(がー17)m-2pgm+q-8=0 ·0(Aき mを全0りたい)
がキ17 より,Dはmについての2次方程式となり,そ
の実数解は2本の接線の傾きを表す. ①の2解を m,, m2
mについての方程式
2直線の傾きを m,, m2
とすると、2直線が直交
するとき、
m,m2=-1 であればよいから,解と係数の
g-8
とすると、
m,m2=-1
関係より,
=ー1,
が-17
g°-8=-(が-17)
なぜEと
わかる?
すなわち,
また,このとき,①の判別式は正となるから, m, m2
は存在する。
が=17 のとき, q°=8 であればよい。
したがって、
よって、求める軌跡は、
が+q°=25
が=17 のとき,上の図
より g=8 ならx軸に
平行な接線をもつ。
がキ17もが=17も同じ
円上の軌跡となる。
が+q°=25
原点中心,半径5の円
練習
格円 9x+16y=1 の外部の点P(a, b) から,この格円に引いた2本の接線
の接点をA. Bとし、線分 ABの中点をMとする。
( Mの座標をa, bを用いて表せ
24
331443
55
(2)点Pが指円
+ 上を助くと結果5/34跡を求めよ
