く Q FocusGold 3 T 438 第6章 微分法の応用 /28 Check 200 条件つき不等式の証明2 (別解 例題 0<r<1 とする.0<a<b のとき,不等式 がーa"<(b-a)"が成り 立つことを示せ、 (津田塾大·改) 考え方> 0<r<1 より,0<1-r<1 であることに注意する。 両辺をがで割って, -=x (0<x<1) とおくと, 与えられた不等式は1変数xで考 えることができる。 a b 解 不等式の両辺をがで割ると, 0く6 より,0くが a b-a\ b 1 b" この不等式が成り立つことを示せば,与式が成り立つ a b ことも示される. =x とおくと, 0<r<1aとき =x とおいて考える。 b f(x)=(1-x)"-(1-x) とおくと, f(x)=-r(1-x)"-1+rx"-1 =r(x"-1-(1-x)ーリ <-:krーicoaとき,ズ= (-x は9メ ここで、 1 1-r x-(1-x) f(x)=0 とすると,0<1-r<1 であるから, 三 0<1-r<1 より x-r=(1-x)'- DC 1-x=x より, x=す x=1-x 0<1-と<1 より,0<xs1 における f(x)の増減表は10<xくのとき 0<x-T<(1-x) より,f(x)>0 次のようになる。 11 x 0 11 2 『(x) 0 F(x) 0 極大値| 0 これより,0<x<1 のとき,f(x)>0 である。 したがって,0<<1のとき, b a 1- a よって,0<aくbのとき,