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320
数学B
=
12
n(n+1)²(n+2)
[別解 求める和をSとすると
S=12+(12+22)+ (12+2+32) ++ (12+22 +
= Σ (1² + 2ª² + -......-+ k²) = Σk(k+1)(2k+1)
k=1
16
= (2k³+3k² + k) = (2 k³ +3 k² +Źk)
6k=1
k=1
-1/12 1/12 n(n+1) +3.1/n(n+1)(2n+1)+
•+n²)
n+1)(2n+1)+n(n+1)]
1n(n+1){n(n+1)+(2n+1)+1}
[参考] 和は (2) で表すこともできる。
an=a+
n-1
Σ3-2-1=1+
k=1
3(2-1-1)
12+12+12++12
2-1
2+2+......+22
32+... +32
成り立つ。
+)
ゆえに,一般項は
an=3.2"-1_9
また, 初項 α=1 であるから,上の式は n=1のときにも公比2項数n-1の等
=3.2-1-2
第1章 数列 321
1章
比数列の和。
PR
k=1
はこれを縦の列ご
とに加えたもの。
よって
Sn=
(3.2-1-2)=
och k=1
3(2-1)
2-1
初項は特別扱い。
-2n
=3.2"-2n-3
PR
(1) Sn=2n2+n
(2) Sn=5"-1
②20
(1) n≧2 のとき
初項から第n項までの和Sが次の関係式を満たすような数列{an} の一般項am を求めよ。
(3) Sn=3n2-2n+1
PR
②19
次の数列の第n項を求めよ。 また, 初項から第n項までの和を求めよ。
(2)1, 4, 10, 22, 46,
(1) 1, 7, 17, 31, 49,
an=S-S-1=(2n²+n)-{2(n-1)2+(n-1)}
=(2m²+n)-(2m²-3n+1)=4n-1
また, n=1のとき
HINT n≧2, n=1の
場合に分けて考える。
=Sに着目。
35,4
a=Si=2.12+1=3
し
与えられた数列の一般項をanとし, 初項から第n項までの和
をSとする。
[HINT
ゆえに
an=4n-1
よって, an=4n-1 は n=1のときにも成り立つ。
a=4.1-1=3
また、数列{a}の階差数列を {bm} とする。
階差数列利用の注意
①
n≧2」 とする
2 αは特別扱い
(2)n≧2 のとき an=Sn-Sm-1=(5"-1)-(5-1)
n-l
=(5-1)・5"'=4・5"-1
また, n=1のとき
a=Si=5'-1=4
(1){6}:6,10, 14, 18,
1 7 17 31 49
これは,初項6, 公差 4の等差数列である。
よって, an=4・5-1 は n=1のときにも成り立つ。
a=4.5=4
n-l
差 : 6 10 14 18
ゆえに bn=6+(n-1)・4=4n+2
よって, n≧2 のとき
n-1
ゆえに
an=4.5-1
n≧2 を忘れない。
(3) n≧2 のとき
So≠0の場合は, an が
an=SnSn-1
1つの式で表せない。
n-1
an=a1+(4k+2)
←
(n-1)n
k=1
k=1
=1+4•-
(n-1)n+2(n-1)
=2n2-1
また, n=1のとき
また,初項 α=1であるから, 上の式は n=1のときにも
成り立つ。
初項は特別扱い。
よって, an=6n-5 は n=1のときには成り立たない。
ゆえに α=2, n≧2のとき an=6n-5
<a₁=6-1-5=1
ゆえに,一般項は an-2n2-1
=(3m²-2n+1)-{3(n-1)2-2(n-1)+1}
=(3m²-2n+1)-(3m²-8n+6)
=6n-5
a=St=3・12-2・1+1=2
(本冊基本例題 20 の
n
INFORMATION 参照)
よって S=(2-1)=22-21
k=1
k=1
k=1
=2.—n(n+1)(2n+1)—n
= n(2n²+3n+1-3)
=1/13n(n-1)(n+2)
(2){bm}:3,6,12,24,
PR
次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。
②21
2
k2
(1)
2 2
13'35' 5・7'
1
(2)
1・5'59' 9・13'
k=1
=n(n+1)(2n+1)
1 4 10 22 46
(1) この数列の第k項は
2
(2k+1)-(2k-1)
(2k-1)(2k+1) (2k-1)(2k+1)
ゆえに、初項から第n項までの和は
2k-1 2k+1
( 1 D) + ( 1 D) + ( 1 D) + + (2n-1 2n+1)
(1)+(孝一)+(第一分)+
bn=3.27-1
これは,初項3,公比2の等比数列である。
ゆえに
差: 3 6 12 24
2n
=1-
よって, n≧2のとき
n≧2 を忘れない。
2n+1 2n+1
途中の
111
3'5'7'
が消える。
2n
