マーカーを引いたところが分かりません！ 式の中に±の記号もつ数が複数ありますがどのタイミング？でプラスなのかマイナスなのかが分かりません。 また、nはなぜ3の倍数とかに場合訳されているのか分かりません。

例題 130 z" + 1 の値 ★★★ zn (1) 複素数が2+ = √3 を満たすとき,230 + 2.30 の値を求めよ。 Z 1 (2)複素数がz+ 1 を満たすとき, w = z" + zn の値を求めよ。 2 ただし, nは整数とする。 思考プロセス 30 2+12/21=(2+1)と考えるのは大変。 (1) z30+ « ReAction 複素数の几乗は,極形式で表してドモアブルの定理を用いよ 例題12 具体的に考える 1 2 z+ √3より -√3+1= 0 1 解 (1) + = 2 よって 2 = 極形式 2 = √3より -√3z+1=0 √3 ±√(-√3)-4・1・1 3 土 2 1 2 -i cos()+ 2 π cos(土)+isin (±)(複号同順 6 このとき,ドモアブルの定理により 2.30 -{cos(土)+isin()} 30 =cOS (±5) +isin (±5) (複号同順) = =-1 1 ゆえに 1 = したがって 230 '+ 1 2.30 =-1-1 = -2 (2)z+ 1 - より 2 z+z+1=0 よって 解の公式 5π=π+2.2π (cos(-) = cost lsin(0)=sind -1±√3i 2 = 2 = ± cos(1/2/3)+isin (12/31) (同順) 土 このとき,ドモアブルの定理により 1 an w=z+ = 2"+2" 256 2次方程式の解の公式を 使用いてzの値を求める。 y √3 32 2. 10 2 21 9 2

模範解答と少し違うのですが合っていますか？ 三平方の定理を使って表さなきゃだめでしょうか。

B 300 右の図を利用して, tan75° の値を求めよ。 △ABCについて、12:今の特別な三角形になるので、 (AB=BD) 60 150 90 ∠ABC=30°,∠CAB=60°AB=2となる。 D 2 B √3 ∠ABD=180°-∠ABC=180°-30°=150° AABDはAB=BDの二等辺三角形である。 よって、∠BAD=180-150°)=2=150 以上より、AACDは、<DAC-75,<DCA-90℃の直角角形となる。 tan 75°= DC 2+√3 2+√3 AC 1

次の(2)の問題で青線から青線の移行がよくわからないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

例題 57 "" の値 ★★★ 1 1 (1)複素数zz+ √3 を満たすとき,290 + の値を求めよ。 Z 2.30 = 1 1 = {cos(±²² 7) + ¡sin(±²² 7)}”* + {cos(± 2/37) + isin (±²/7)}" 2n 2n 土 2n = cos( ± 21/17) + isin (± 2/2 7 ) + cos(+27) + isin (+237) (2) 複素数zz+ = 1 を満たすとき, w = z" + Z の値を求め z" = COS 2n 3 ±isin 2n 3 2n +cos π干isin 3 2n π 3 よ。 ただし, n は整数とする。 2n = 2 cos 思考プロセス (1)+(2+1) と考えるのは大変。 《ReAction 複素数の乗は、 極形式で表してド・モアブルの定理を用いよ 例題 55 具体的に考える 2+112=1/3より2-3z+1=0 ⇒ 極形式 2= 1 解 (1) z+ = √ √3より 2°-√3z+1=0 Z よって (複号同順) 3 (ア)n=3k(kは整数) のとき w=2cos (2kz)=2 (イ) n=3k+1 (kは整数) のとき w = 2cos(2kz+ 237) = 2 cos² = (ウ)n=3k+2 (kは整数) のとき w=2cos cos(2kz+ (ア)~(ウ)より, kを整数とすると 4 =-1 = 2 cos =-1 2 (n=3k のとき) √√(3) -4･1･1 2 = 3 土 2 2 1 i 2 = cos(土)+isin (+)(複号同順) このとき, ドモアブルの定理により 2 = {cos(+1) +isin(土)} 土 = cos(±5π) +isin (±5π) (複号同順) =-1 w= |-1 (n=3k+1,3k+2 のとき) 1 Point z+ 1 =kのときの " + の値 Z z" 1 複素数zが z+ = k ... ①(kは実数) を満たすとする。 2 ① より z-kz+1=0 この2解は互いに共役な複素数z, zであるから, 解と係数の関係 よって |z|2=1 すなわち |z|=1 ゆえに, z=cos+isind とおくと z"=cosn0+isinn0 したがって 1 1 ゆ = =-1 2.30 -1 2" + したがって 2.30 + 1 =-1-1=-2 (2)+1 =-1 より 2+z+1=0 2次方程式の解の公式を 用いてzの値を求める。 よって このことから,z+ はnの値に関わらず実数となることも分 2" =2"+(2")-1 = (cosnd+isinn)+(cosn0+isinn0)-1 = (cosnd+isinn)+(cosn0-isinn0) =2cosno 1 34 13 2 -1±√3i 2= 2 = + =cos (2) +isin (土) (複号同順) O このとき, ドモアブルの定理により 1 w = 2" + =z+zn 23 23 T x 1 練習 57 (1) 複素数zが z+ == 2 を満たすとき, 12 + 2 1 (2) 複素数zが z+- =√2 を満たすとき, w=z 2.

線を引いたところの意図がよく理解できません。mのとこがわかってないのですがどういうことか教えていただきたいです🙇

[2]複素数1の12乗根を 20, Z1,Z2,…, z11 とし, Zo=1とする。 Zkk=0,1,2, ....... 11) の偏角を0とし, 0=0<<<<<2πとすると T 0₁ = = Ok オ H である。 オ の解答群 Z₁ = 1 2 Zk=cos 2KTL 12 2kT tisin k 12 π ① ん6 k π 4 k+1 12 k+1 π π 6 k+1 4 2k-1 2k-1 2k-1 π ⑥ 12 一π ⑦ π ⑧ TC 6 4 Zk"=Zzkとなる2以上で最小の自然数をMと表し, kの値によってMの値が どうなるか, 太郎さんと花子さんは考察している。 太郎:20,21,22, ......, Z11 を複素数平面上に図示するとどうなるかな。 花子: 20,21,22, ..., Z11 の絶対値はどれも1だから, 偏角について考える とよさそうだね。 太郎: 点 z12は点z2 と重なるね。 花子: 点 21, 214, ······についても同じように考えると, k=1のときのMの値 がわかるね。 k=1のときM=13であり, k=2のときM= である。 m Z₁ = Z₁ M M=3 となるようなんの値はん=キである。 Z2 =Zk 2x=1 複素数平面上の (M-1) 個の点 Zk, k, なんの値は ZkM M-1 が正方形の頂点となるよう m Z=Z k= ク ケ 3 =Z21d⑤ M-I Z=101 である。ただし、ケとする。 Z2:cosネルtigin/co1g fisin/cosotismQ T=0+2nπL k=6n 10.6 (第3回 25 ) M- (costism) M-I cosmos='ntisinnoyin=cosQ+ismo 1=7 min 共

(2)についてです。 解答の途中式で-π/4とありますが、どうやったら出てくるのでしょうか？ できるだけ丁寧に説明をお願いしたいです。 よろしくお願いします🙇🏻‍♀️

3. 次の計算をせよ。 (1) (cos+isin.) (3) 2 (2) (cos-isin )* √3 3 ・+ (4) 2 (+2) -6 (5) (1+i)10 (1) (cos +isin)-cos (4×4)+isin(4x) π 6 2 極で表 ドモアブルの定理 nが整数のとき, 対して 2 -cosofgfx+isinfor =COS =-1/3+ √3 -i 2 (2)(cosisin-cos (一般)+isin(一般) = cos{8×(-4)+isin{8x(-4)} =cOS (-2x)+isin (-2) =1 (cos +isin0)" =cosno+isinnQ h {rlcosotisine)}=(cosne < cos(-8)=coso sin(-6)=-sin /

青マーカーで引いてあるkとk＋1の関係式がわかってないといけないのは何故でしょうか？k＋2とkの関係を証明するだけではいけないのですか？教えて頂きたいです。

・cos on 倍角公式 : チェビシェフ 20 次の問いに答えよ。 0-E (1) n を正の整数とする. どんな角に対しても cosno=2cos0cos(n-1)0-cos(n-2)0 が成り立つことをを示せ. また, ある多項式 Pn(x) を用いて cos は cosno = pn(cose) と表されることを示せ oni (2) Pn(x)はnが偶数ならば偶関数, 奇数ならば奇関数になることを 示せ. 3 tan (3)多項式 pn(x) の定数項を求めよ. また, Pn(x) の1次の項の係数 を求めよ. [九州大〕 アプローチ (1-x) (イ) cos e には 2倍角, 3倍角の公式があります: cos 20 = 2 cos2 0–1 cos 30 = 4cos30-3cos0 この これらの右辺は cose の多項式になっているので,一般に 「cosno は cost の多項式になる」と予想されます。 これを示すのが本間 (1) です. n=4のと きは cos 40 = cos 2(20) = 2 cos² 20 -1 立 =2(2cos20-1)2-1 かっていないといけませんが, cos(k + 1)0 = coskocososin k0 sin O となり, sin0 がでてきてしまい、うまくありません. そこで誘導がついて n=k, いて, cos n は cos(n-1)0 と と cos(n-2) と cose でかけるので,n n=k+1のときを仮定するとn=k+2が示せることがみえてきます。す なわち となり、Pa(x) から Pa(x)の存在がわかります。 これらから Pa(x)の存在を 示すのに帰納法が使えないかと考えみます。そのためには「n=kのときと n=k+1のときの関係」すなわち「cosk と cos(k + 1)6 の関係式」がわ + + S となり合う関係 が分かってないと いけない

（1）って分母分子をnで割る lim（n→∞ ）=1/ncosnπ=0 としてはいけないんですか？

基本 例題105 数列の極限 (4)・・ はさみうちの原理 / 183 00000 COS Nπ (1) 極限 lim- を求めよ。 2012 12 1 (2) an= + n2+1 1 n2+2 +......+ 1 n²+n とするとき, lima を求めよ。 p.174 基本事項 [3] 4章 指針 極限が直接求めにくい場合は、はさみうちの原理 の利用を考える。 14 はさみうちの原理 すべてのn について ansen ≦ bm のとき lima=limb =α ならば limc=α (不等式の等号がなくても成立) 00 →co 8111 COSπ (1) an≤- n bm の形を作る。 それには, かくれた条件-1≦cos01 を利用。 THARD 1 (2) n²+k 1/12 (k=1, 2,...,n)に着目して、4mの各項を 12/13 におき換えてみる。 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち 解答 111であるから COS Nπ 各辺をnで割る。 n n n 1-1)=0,lim1/2=0であるから (2) n-con 11/23s(k=1, 2,..., 12-00 n) であるから COS Nπ lim 0 はさみうちの原理。 n An²+k>n2>0 n²+k 1 1 a= + + + n2+1 n2+2 n2+n n² <+ 1 1 1 +...+ = •n= n² n2 n² n よって0<a< 1 lim =0であるから lima=0 8 n n 検討はさみうちの原理を利用するときのポイント ■各項を12でおき換える。 40≤lima,≤0 数列の極限 はさみうちの原理を用いて数列{c} の極限を求める場合、次の① ② の2点がポイントとなる。 ② 2つの数列{an}, {6}の極限は同じ これをαとする)。 ①≦bを満たす2つの数列{an}, {bm} を見つける。 なお、①に関して、数列{a}, {bm} は定数の数列でもよい。 105 次の極限を求めよ。 (1)lim- 1 sin nπ => ① ② が満たされたとき limcn=α 00 1 1 (2) ++ (n+2)2 (2m) 1001

数IIの三角関数2直線のなす角の問題です。 分からなかったので調べたところノートに書いたようになったのですが、 黄色マーカー部分で、なぜm＝1、また、tanπ/4が出てくるのか分かりません。 また、2行目、3行目で、なぜこのような式が立てられるのかが分からないため、解説をお... 続きを読む

2直線の なす角 104点 (10) を通り、直線y=x-1との角をなす直線の 6 Fosnie () 方程式を求めよ。 ポイント③ 直線とx軸の正の向きとのなす角が0のとき, この直線の傾き mは m=tan0 このことを利用して、 直線の傾きを求める。

29番の(1)で必要十分条件を求める問題で、どちらが必要条件でどちらが十分条件か分からなくなってしまいました。考え方を教えて頂きたいです。

28 よって ここで ゆえに −(n=k+1}{n+k+1)+(n−k)(n+k) n→∞0 =-2k²+(2n²+2n+1) f(n)=-4 f(x)=x(2k² +2n² +2n+1) k²=0+22k², 1=2n+1 TA³5 k=1 −42 k²+(2n²+2n+1) (2n+1) k=1 − n(n+1)(2n+1)+(2n²+2n+1)(2n+1) lim 72-00 n³ (2) f(n) -1/(1+1/2)(2+1/2)+(2+1/2)(2+1)} =--²--1-2+2-2= 8 3 3 別解n≦x≦k, k≦x≦n と k<x<kに分けて,直線 y軸に平行な直線につ x=i (-n≦i≦n) 上にある格子点の数を求める。 さて格子点を数える。 = -n≦i≦k のとき, 格子点の数は k=-n 1+3++{2(n−k+1)−1}=(n−k+1)² = (+_____________ k<i<kのとき, 直線 x = i の本数は ←-k+1≦isk-1 各直線上の格子点の数は よって k-1-(−k+1)+1=2k-1 = I=gb S=b 2(n-k+1)-1=2n-2k+1 Nk=2(n-k+1)+(2n-2k+1)(2k-1) =-2k²+(2n²+2n+1) 総合を複素数とする。 自然数nに対し、2” の実部と虚部をそれぞれxとyとして、2つの数列 29 {Xn},{yn}を考える。 つまり, z=xn+iy" (iは虚数単位) を満たしている。 (1) 複素数zが正の実数と実数0を用いて z=r (cos0+isine) の形で与えられたとき、 数列{x},{ym} がともに0に収束するための必要十分条件を求めよ。 1+√3 10 = n(n+1)(2n+1) のとき、無限級数Σx とΣy はともに収束し, それぞれの和は n=1 71=1 x=2y=イロである。 (1) z=r (cos0+isin0) [r>0] のとき HINT (1) x²+y² = (r")2 となることに注目し, まず必要条件を求める。 (2) z を等比数列の和の公式を利用した式で表してみる。 ORAN z"=r" (cosnotisinn()=r"cosn0 +ir” sinne Xn=r" cosnd, yn=r"sinno よって ゆえに x2+yn²=(r")' (cos2nd+sin'nb)=(x2)" limxn=limyn=0のとき lim(x²+ym²)=0 〔類 慶応大] 本冊 例題 13,102 ←ド・モアブルの定理。 ←=xn+iy 0sr²<1 よって に0<r<1のとき 1-400 0<r<1より, lim|rl"=0であるから ゆえに 0≦|x|=||"|cos nolsrp. よって 0≦ly|=|||sinner| また 以上から、求める必要十分条件は +③iのとき 10 lim|x|=lim|y|= 0 71-00 ゆえに 1110 Z ここで1-2 lim xnn-000 ZR= ここで k=1 z(1-2)= 1-² よって 1- 1+√3 i 10 1+√3 i 10 k=1 84 3+5√3 i 42 (1+√3i)(9+√3 i) (9-√3i)(9+√3 i) 6+10√3i_3+5√3i 2x= k=1 1-2 (1-(xn+iyn)) 1+√3 i 9-√3i 11-0 0721 0<r<1 n=1] -(1-Xn-iyn) 2R= = 1/2 (3(1-xn) +5√3 yn+(5√/3 (1–xn)—3yn}i) z*= (xn+iyn)= xx+iZyn k=1 3(1-x₂)+5√√3 yn 42 ΣXn² n=1 42 5√3 (1-xn)-3yn 42 0</1/3 <1であるから, (1) の結果より limxn=limyn = 0 „=lim 11-00 2 k=1 2 = = = = ( 1²/2 + √²³_i) = = = (cos / 1 + isin) Σyn=lim- 11-0 ←Sa<1のとき a²19 a=1のとき、 α>1のとき、18 42 ←xel Saxolxel から、 xel 0のとき 初項z. 公比zの等比 数列の初項から第 環 までの和 12-00 3 (1-x)+5√3ym_3_71 42 5√3 (1-xn)-3yn_15√/3 42 -419 ←分母の実数化。 42 14 ← 22 のもう1つの表現。 ←実部、虚部をそれぞれ 比較。 (12) 結果を利用 総合 N=1 £ =lim ży

青チャート数Ⅱ、EX101です。どれも解答を読めば理解はできるのですが、公式をどのように選べば良いかわかりません。 (1)は2倍角、3倍角公式で解こうとして、 (2)はcosθで括ってから合成をしようとして、 (3)は√2(sinx + cosx) を合成しようとして、 ... 続きを読む

50 スマー の例題 入の方 [解] の2 青チ チ 八重お種学問 ■日 A 選び あり 考 例 間 え・ ど [ デ 270 I EXERCISES 100nを自然数を実数とするとき, 次の問いに答えよ。 (1) cos(n+2)0-2cos@cos (n+1)0+cosn0-0 を示せ。 (2) cos0xとおくとき, cos50 をxの式で表せ。 (3) cos' の値を求めよ。 26 三角関数の和と積の公式. 101 (1) sinx+sin 2x+sin 3x cosx+cos2x+cos3x 人(②2) 050<1とする。 不等式0<< sinocoso+cos²0 < 1 を解け。 (3) 05x<2のとき、方程式 sinxcosx+√2 (sinx + cos.x)=2 (3) 弘前大) 12/12 とするとき、次の問いに答えよ。 27 三角 (1) tan0x とするとき, sin20, cos20 をxで表せ。 (2) xがすべての実数値をとるとき, p= 7+6x-xl 1+x ア (1) の結果を用いて, P を sin20, cos20 で表せ。 (イ))の結果を用いて, Pの最大値とそのときのxの値を求めよ｡ IN とする。 a 103 の方程式 sinx+2cosxk (0sxm) が異なる2個の解をもつとき の値の範囲を求めよ。 [愛知] G ②104 関数f(0)=acos0+(a-b)sinocos0+bsin²0 の最大値が3+√7, 3-√7 となるように,定数a, bの値を定めよ。 CORMAS 102 (1) cos'01 105 平面上の点Oを中心とし、 半径1の円周上に相異なる3点 , B, C △ABCの内接円の半径は1/3以下であることを示せ。 京都 104 105 100 (1) 左辺の2cos@cos(n+1)0. 積和の公式を利用して変形。 (3) 6 7 x として (2) の結果を利用。 101 (1) 三角関数の合成と、和積の公式を用いて、 積=0の形に変形。 (2) sin@coscou'eは2次の次式であるから、20の三角関数で表され (3) sin.x+cos.x=tとおく。 の値の範囲に注意。 1+tan 1+² (2) (1) 結果 ① を利用。 103 三角関数の合成を利用。 f(x)=sinx+2c0sx として, y=f(x)のグラフと なる2つの共有点をもつ条件を考える。 )の右辺は、2次の同次式であるから、20の三角関数で表すことができる。 AABCの内心を1とすると ICsin IDC において、正霊定理から得られる等式を利用して、 rを 1 174 数学Ⅱ よって x0であるから ゆえに ここで, 0 すなわち (16x20x²+5)=0 EX €101 これを満たすxの値は 16x20x²+5=0 10± √10-16.55+√5 よって 求める値は 10 t < cos<cos' <cos³0 16 ゆえに (1) 0のとき、次の方程式を解け。 (1) P (左辺) (右辺) 5+√5 8 8 よって sinx+sin 2r+sin3x-cosx+cos 2x+cos3x (2) とする。 不等式√ sincom0+cos0を解け。 (3). DEx 240LB, IlliCsinxcor+/Z(sinx+cox)= ¢H = (sinx-cos.x)+ (sin2x-cos2x)+ (sin3x-cos 3.x) -√2 (sin(x-7)+sin(2x-7)+sin(3x-7)} ここで,sin(x)+sin(3x-4) 2sin (2x-4) cons.x であるから P=√2 (2 cosx+1)sin(2x-4) したがって､方程式は (2 cos x+1)sin(2x-)-0 cosx/12/2… ① または sin (2x-4) -0... ② xの範囲で、①を解くと x 12/23 また、xから この範囲で②を解くと 2x-4-0, z x すなわち x 12/23 したがって、求める幅は4001/12/12/10 (2)√3 sin cos0+cos²0= √3 + 1/cos 20 + 1/2 -sin20+ =sin(20+)+1/2 とみる。 $2√3 3+√5 5-√3 ←同じ を合成。 ←8- in/+ -2 si 1 +2=0+ b 0<sin(20+)+<1 - <sin (20+4)</ すなわち 20 とおくと、00のと この <sint</1/2を解くと 1/12 くたく/7/2 ゆえに 1/20/8/1/2 すなわち書くの (3) sinx + cosxとおき、両辺を2乗すると fsin'x+2sinxcosx+cos³x よって 不等式は よって sinxcosx ゆえに、方程式は221-2-0 21+4√21-5-0 (√21-1)(√21+5) - 0 整理すると ゆえに したが ここで 1-√2 sin(x+4) よりであるから -√2 515√2 よって、①のうちするものは 15212 √2 sin(x+4)= sin(x+4)= ②から よって1/12 17/12/0 EX 102 とするとき、次の問いに答えよ。 (1) tunxとするとき, sin2020 で表せ。 (2) xがすべての実数値をとるとき､とする。 いて、 Psin2/cos20 で表せ。 (1) cos201 イの結果を用いて、 の最大値とそのときのxの値を求めよ。 であるから 1+tan0 1+x² sin20-2sin0 cos 02 (tan cos 0)cos0 2x 1+x1+x² =2tan/cos²0=2x. cos 20=2 cos³0-1-21 1-x² -1=1+x² ● 数学 175 おき換え が変わることに注意 ix, cox MBR f-stax +con おき換えを利用。 の公式で解くと MITWE ←EABROOK 変数のおき換え が変わることに注意 MCMAS ←相互開催 ←i sind -tan feos 4章 EX