[2]複素数1の12乗根を 20, Z1,Z2,…, z11 とし, Zo=1とする。 Zkk=0,1,2, ....... 11) の偏角を0とし, 0=0<<<<<2πとすると T 0₁ = = Ok オ H である。 オ の解答群 Z₁ = 1 2 Zk=cos 2KTL 12 2kT tisin k 12 π ① ん6 k π 4 k+1 12 k+1 π π 6 k+1 4 2k-1 2k-1 2k-1 π ⑥ 12 一π ⑦ π ⑧ TC 6 4 Zk"=Zzkとなる2以上で最小の自然数をMと表し, kの値によってMの値が どうなるか, 太郎さんと花子さんは考察している。 太郎:20,21,22, ......, Z11 を複素数平面上に図示するとどうなるかな。 花子: 20,21,22, ..., Z11 の絶対値はどれも1だから, 偏角について考える とよさそうだね。 太郎: 点 z12は点z2 と重なるね。 花子: 点 21, 214, ······についても同じように考えると, k=1のときのMの値 がわかるね。 k=1のときM=13であり, k=2のときM= である。 m Z₁ = Z₁ M M=3 となるようなんの値はん=キである。 Z2 =Zk 2x=1 複素数平面上の (M-1) 個の点 Zk, k, なんの値は ZkM M-1 が正方形の頂点となるよう m Z=Z k= ク ケ 3 =Z21d⑤ M-I Z=101 である。ただし、ケとする。 Z2:cosネルtigin/co1g fisin/cosotismQ T=0+2nπL k=6n 10.6 (第3回 25 ) M- (costism) M-I cosmos='ntisinnoyin=cosQ+ismo 1=7 min 共

[2] 1の12乗根は 2kπ COS +isin 12 2kT 12 kπ = COS 6 kπ 6 +isin (k=0, 1, ..., 11) される で したがって kπ k= COS だけ であり +isin kπ ID 正の整数nに対して, 1のn乗根 は 2kπ 2kπ COS +isin- Aniog n 000 n 200 0₁ = 1, 0=π (0) 次に, z2" =z2 とすると, z20より,両辺を22で割って 22"-1=1 (k=0, 1, 2,......, n-1) 1の12乗根を表す点は、 1つの頂 点が点で単位円に内接する正十 二角形の各頂点である。 2π 2π 22= COS 6 +isin- = COS + +isin - であるから VA 123 24 3 (cosmof+isin 7tm-1 25 = 1 26 m-1 COS- π十isin m-1 3 3 π=cos0+isin0 E ras Point 27 両辺の偏角を比較して 28 Z10 m-1 -129 gr=0+2nπ (mは2以上の自然数, n は整数) 21 20 1x 211 m-1=6n E m=6n+1 H ドモアブルの定理 nが整数のとき これを満たすm,nの組のうち, mが最小となるのは m=7,n=1 (cos0+isin0)"=cosn0+isin n よって,k=2のとき M=7 次に,k=z とすると, Zh≠0より, 両辺を2で割って zk² = 1 2 (cos x + i sin x)² = 1 誤答注意! 両辺の偏角を比較するときに m-1 30 ta としないこと。 右辺の偏角は, 0+2π, 0+4π なども考えられる から m-1=0+2nz ( n は整数) 6 kπ kπ COS +isin =cos0+isin 0 E Point 3 3 両辺の偏角を比較して である。 kπ =0+2n (nは整数) 3 k=6n n=0,1とおくと k=0, 6 20=cos0+isin0=1,26=COSπ+isinz=-1であり、このうちzkキZk となるのは26であるから, 求めるkの値は k = 6 F ZkZk, h22k を解くと 2k=-1 よってk=6 と求めてもよい。