4 2次不等式とその応用
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例 題 87
すべての実数で成り立つ不等式
次の条件を満たすような定数んの値の範囲を求めよ。
(1) すべての実数xに対して, 不等式x°+kx+k+3>0 が成り立つ。
(2) 2次不等式 kx°+(k+3)x+k>0 が解をもたない。
「考え方 グラフが上に凸か下に凸かを調べ, x 軸との位置関係に着目する。
解答 与えられた2次不等式において,(左辺)=0 としたとき
第。
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の判別式をDとする。
(1) 2次関数 y=x°+kx+k+3
のグラフが右の図のようになる
ときを考えると,求める条件は,
る「(2次の係数)>0
(D=k°-4(k+3)<0ょ…②
のは成り立つ。
2は、
y=x°+kx+k+3
((すべての実数で成り
Ick 立つ
<I
合様
x
解はすべての
k°-4(k+3)<0
R?-4k-12<0
(&土2)(k-6)<0 より,
よって,求めるkの値の範囲は,
(2) Rx?+(k+3)x+k>0 が解をもたない
→すべてのxで kx?+(k+3)x+k<0
2次不等式であるから,
よって,求める条件は,
2次の係数 kく0
LD=(k+3)?-4k<0…②
2より,k<-1, 3冬k
kS-1
S+ 009
-2くたく6
-2<kく6
実数
→ 2次関数のグ
ラフは下に凸でx軸
と共有点をもたない
→a>0, D<0
2次不等式とあるの
でk=0 の場合は
調べなくてよい。
*(頂点のy座標)ハ0
つまり,
3(k-2k-3)
4k
kキ0
x
0<s)
y=kx°+(k+3)x+k
これとDより,
でもよいが計算が煩
雑となるため,Dを
用いる。
8F)
