4 2次不等式とその応用 159 Check 例 題 87 すべての実数で成り立つ不等式 次の条件を満たすような定数んの値の範囲を求めよ。 (1) すべての実数xに対して, 不等式x°+kx+k+3>0 が成り立つ。 (2) 2次不等式 kx°+(k+3)x+k>0 が解をもたない。 「考え方 グラフが上に凸か下に凸かを調べ, x 軸との位置関係に着目する。 解答 与えられた2次不等式において,(左辺)=0 としたとき 第。 82 の判別式をDとする。 (1) 2次関数 y=x°+kx+k+3 のグラフが右の図のようになる ときを考えると,求める条件は, る「(2次の係数)>0 (D=k°-4(k+3)<0ょ…② のは成り立つ。 2は、 y=x°+kx+k+3 ((すべての実数で成り Ick 立つ <I 合様 x 解はすべての k°-4(k+3)<0 R?-4k-12<0 (&土2)(k-6)<0 より, よって,求めるkの値の範囲は, (2) Rx?+(k+3)x+k>0 が解をもたない →すべてのxで kx?+(k+3)x+k<0 2次不等式であるから, よって,求める条件は, 2次の係数 kく0 LD=(k+3)?-4k<0…② 2より,k<-1, 3冬k kS-1 S+ 009 -2くたく6 -2<kく6 実数 → 2次関数のグ ラフは下に凸でx軸 と共有点をもたない →a>0, D<0 2次不等式とあるの でk=0 の場合は 調べなくてよい。 *(頂点のy座標)ハ0 つまり, 3(k-2k-3) 4k kキ0 x 0<s) y=kx°+(k+3)x+k これとDより, でもよいが計算が煩 雑となるため,Dを 用いる。 8F)