例題 294
漸化式 an+1°=par"
a=2, an+i°=4a。 で定義される数列{an} の一般項 anを求めよ.
: 料
第8章
「考え方 漸化式が an+i° や aなどの累乗の場合や, an に がついている場合, an+1Qn のよ
うな積の場合は,両辺の対数をとるとうまくいくことが多い。
ここでは,aの係数 4(3D2") に着目して, 底が2である対数を両辺にとると,
log2an+1°=log2(4a,)=log24+log2an° より,
21og2an+1=2+31og2Qm
ここで,log2an= bn とおくと, 26n+1=36n+2 となり, 例題291 の形の漸化式となる。
a=2>0, an+1?=4a。より,すべての自然数nに対して,
an>0 とるトら、中身が〇以上なのさ確認。
an+i°=4aについて, 底2で両辺の対数をとると,
log2an+°=log24p。
21og2an+1=log24+31og2an より,
21og2an+1=31og2Qn+2
og2an= bn とおくと,
解答
下の注》参照
3
26n+1=36m+2
したがって,bn+1
3
=; 6n+1, より, これを変形すると,
2
3
2
まきたら、特生お援料
特性方程式
(bn+1+2=;(bn+2)) 0
TEめに変形
ここで、
bi+2=log2Qi+2=log22+2=3
α=e+1 を解くと,
a=-2 h1で安心しない。
に、たがない。
322
のと b+2=3 より, 数列{bn+2} は, 初項 3, 公比一の
32-1
等比数列だから, 一般項は,
bn+2=3(;)
12
3"224
2:
3"
3"-27
すなわち,
-2=
27-1
27-1
2-1
n!
bn=
2
3"-2"
27-1
37-27
よって, bn=log2Qn=
より,
an=2 27-1
Focus
Lope ブーがだったら、 水ニ2'
漸化式 an+1°=かar は両辺の対数をとる
注》「a=2, an+1°=4an° のとき, すべての自然数について aォ>0」 について,
a-4°=4-2°-32 より, az=±4/2
