(1)の解答の1行目のan-5を分母分子に掛ける作業なのですが、an-5が0でないという確証はないのに欠けていいんですか？

重要 例題 39 分数型の漸化式 (2) 00000 α=1, an+1= an-9 an-5 で定められる数列{a} がある。 (1) bn= 1 an-3 とおくとき,n+1 を bn で表せ。 ただし, すべての自然数n に対して an≠3 である。 (2)一般項 αを求めよ。 CHART & SOLUTION 分数型の漸化式 おき換えを利用 (1) bx+1 bm で表すことが目標。 b=- のnをn+1とした 基本 33 an-3 bx+1= 1 an+1-3 からスタートする。 まずは, an+1= an-9 an-5 を用いて, bm+1 を で表し, 最終的にbm= を用いて b+1 を6m で表す。 an-3 解答 (1) ba+1= 1 an-5 an+1-3 an-9 -3 an-9-3(an-5) tan+1= an-9 a-5 an-5 an-5 1 an-5 =- 2-an-3 -2an+6 1. (a,-3)-2__1(1-23) an-3 2 11 + 2 an-3 ゆえに b₁= bn+1=b-12 = (2)-1/2 であるから よって a₁-3 bn=- 2 an=3+- 17 bn =3- 2 n Jei 分数式 an-5 a-3 (分子の次数) は (分母の次数) となるように変形する。 an-3 = b が現れた。 |=1 数列{6} は, 初項- 公差 12 等差数

これって公式ですか どう考えればいいのでしょうか、

にお 本 201 木 例題 203 不定積分の計算 (2) y0.n を自然数とする。 公式S(ax+b)dx=1 (ax+b)+1 a n+1 +C 00000 (Cは積分定数)を用いて,不定積分(x-1)(x+1)dx を求めよ。 CHART SOLUTION & (ax + b)" の不定積分 " ax+b) b)"dx=1. a n+1 を自然数とするとき, 次の公式が成り立つ (in 参照)。 +C (Cは積分定数) (ax+b)+1 基本 201 く。 319 (xa)(x-β)=(x-2)^{(x-a)+α-B}=(x-a)+1+(α-B)(x-α)" を利用して (x-1)(x+1)=(x-1)^{(x-1)+2}=(x-1)+2(x-1)^ と変形すると, (ax + b)” の不定積分の公式が使える。 2 fx-1)(x+1)dx=f(x-1)*((x-1)+2)dx =f{(x-1)+2(x-1)*}dx ( =f(x-1)*dx+2f(x-1)dx =(x-1)*+2.(x-1)) 4 +C 113 (x-1){3(x-1)+2.4)+C inf. (x-1)(x+1) =x-x-x+1 と展開して積分すると +x+C 4 3 2 左の答えの式を展開すると xx3x² 闘 4 3 2 +x- -+C 5 12 答えが異なるように見える が、Cは「任意の」定数な 71 ので、どちらも正解。 = (x-1)(x+5)+C (Cは積分定数) 21 12 INFORMATION 微分法の公式{ (ax +6)"}=n(ax+b)-1α (p.278 参照) において, nを n+1 におき換えると よって,a0 のとき (ax+b)n+1) n+1 したがって {(ax+b)"+1}'=(n+1)(ax+b)" a f(ax+b)dx=1, (ax + b).. =(ax+b)" +C ← を忘れずに! a n+1 a 特に,α=1のとき S(x+b)"dx = (x+6)=+ -+C (ともにCは積分定数) n+1 (A) PRACTICE 2036 上の例題の公式を用いて、 次の不定積分を求めよ。 (0) (2x+1)^dx (2) (t+1)(1-t) dt01 (1)

(2)のxを導出する式、考え方がよくわからないです💧‬

3次方程式 x9x2+24x-k=0 が3つの実数解 α,B,y 00000 308 基本 例題 196 3次方程式の実数解のとりうる値の範囲 (a<B<y) をも つとき,次の問いに答えよ。 (1) 定数の値の範囲を求めよ。 CHART & SOLUTION (2) α, B, yの値の範囲を求めよ。 方程式 f(x)=k の実数解のとりうる値の範囲 p.306 基本事項 基本 195 (大井) 曲線 y=f(x)と直線 y=kの共有点のx座標を調べる まず, 方程式を f(x) =k の形にする。 は色の (1) 曲線 y=f(x) を固定し, 直線 y=k を動かしながら, 異なる3つの共有点をもつの 値の範囲を探る。できになるはずである。 その0にな (2) 異なる3つの共有点をxの値の小さい方から順にα, β, yとして, それぞれのとりうる 値の範囲を求める。 解答 (1) 方程式を変形して り立たない <2で考えると(-1)=(1) 0120(すなわち(-2)(2)>である(2) x-9x²+24x=k) \ f(x)=x3-9x2+24x とすると大番へ f'(x)=3x²-18x+24=3(x²-6x+8)=3(x-2)(x-4) 定数を分離して,y=k というx軸に平行な直 線として考える。 基本例 3次方程式 囲を定めよ。 CHART & 方程式を f Ⅲの知識が べる。 実数 よいだろう 解 合 f(x)=x y=f(x) f'( f'(x)= 増減表 極 極 y=f(_ f'(x) =0 とすると x=2,4 x ... 2 4 3 増減表から, y=f(x) のグラフは右下の図のよ f'(x) + 0 0 + f(-v うになる。 方程式の異なる実数解の個数が,このグラフと 直線 y=k の共有点の個数と一致する。 実数解の数=共有点の数 f(x) 極大 極小 f(- 20 16 -2a a>0 よって、グラフから共有点を3個もつときは 16<k<20 ya (2) f(x)=16 となるxの値は y=f(x)小値の他に f(x)=16 (x-4)(x-1)=0 から x=1,4 となるxの値を求める。 201 f(x) =20 となるxの値は 16-7 y=k (x-2)2(x-5)=0 から (1)から 16 <k < 20 x=2,5 3次方程式はx=4 の 重解をもつことを利用。 f(x)=20も同様。 [ O 方程式の異なる実数解は曲線 y=f(x) 直線 y=k の共有点のx座標と一致する 12 B 45 x (x)=x 共 α<B<y であるから,グラフより 1<a<2,2<B<4,4<x<5 PRACTICE 196Ⓡ 3次方程式 x12x+k=0 が3つの実数解 α, β, r (a<β<y) をもつとき、次の問 いに答えよ。 (1) 定数kの値の範囲を求めよ。 (2) α, β, yの値の範囲を求めよ。

このような問題の際、微分しなきゃ！！っていう頭になれないのですが、どうして微分をするのですか、？

を求めよ。 本事項 3 て 最 注意。 へ。 -3 -1 である を含ま 二値, 最 いこと いて る。 1187 最大最小の文章題(微分利用) 日本 例題 00000 半径6の球に内接する直円柱の体積の最大値を求めよ。 また、そのときの直 円柱の高さを求めよ。 & CHARTL 文章題の解法 SOLUTION 最大・最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ 円柱の高さを、例えば2t とすると計算がスムーズになる。 数のとりうる値の範囲を求めておくことも忘れずに。 このとき、直円柱の底面の 半径は62-12, 面積は(√62-12 (36) したがって、円柱の体積はtの3次関数となる。 円柱の高さを2t とすると 直円柱の底面の半径は 基本 186 06 ✓62-12 三平方の ◆三平方の定理から。 ここで、直円柱の体積をyとすると理 y=x(√36-t2)2.2t (36-12)・2t=2z(36t-13) tで微分すると y=2(36-3t2)=-6(-12) =6(t+2√3)(t-2√3) 0<t<6 において, y' = 0 となるの t=2√3 のときである。 (直円柱の体積) =(底面積)×(高さ) 295 6章 dy √62-12 dt をy' で表す。 21 と端 と端 よって, 0<t<6 におけるy の増減表は右のようになる。 t 0 ... 2√3 ... 6 定義域は 0<t<6 であ y' + I 0 - ゆえに,y t=2√3 で極 y > 極大 大かつ最大となり,その値は 2362√3-√3)}=22√3(36-12)=96√3 また、このとき,直円柱の高さは したがって 2.2√3 =4√3 最大値 96√3 π, 高さ 4√3 るから, 増減表の左端, 右端のyは空欄にして おく。 t=2√3 のとき √6212=2√6 よって、 直円柱の高さと 底面の直径との比は 4√3:4√6=1:√2 関数の値の変化 PRACTICE 187 曲線 y=9-x^ とx軸との交点をA,Bとし, 線分AB と この曲線で囲まれた部分に図のように台形ABCD を内接 させるときこの台形の面積の最大値を求めよ。 また, そ のときの点Cの座標を求めよ。を定め y 9 D C 881 ZA 0 B x

対称式、基本対称式とはどういうことですか 解と係数の関係は二次式の時はいつでも使えますか？

290 基本 例題 184 3次関数の極大値と極小値の和 α は定数とする。 f(x)=x+ax²+ax +1 が x=α, B (a<β) 極値をと る。 f(α)+f(B)=2のとき, 定数αの値を求めよ。 CHART & SOLUTION 00000 基本183 3次関数f(x) x=α, β で極値をとるから, α, βは2次方程式 f'(x)=0の解である。 しかし、f'(x)=0 の解を求め, それを f(x)+f(B)=2に代入すると計算が煩雑。 f(a)+f(B) はαとβの対称式になるから α.8の対称式 基本対称式α+β, αβで表されるに注目して変形。 なお,α+ β,aβ は, f'(x) =0で解と係数の関係を利用すると αで表される。 解答 f'(x) =3x2+2ax+a f(x) が x=α, β で極値をとるから, 0 まと 数学Ⅱ p.283 の特徴 3次 2次) f f'(x) =0 すなわち 3x2+2ax+a=0 ...... ・① は異なる2つの実数解 α, β をもつ。 ①の判別式をDとすると 0-G -=a²-3a=a(a-3) 4 まず、f(x)が極値をも つようなαの範囲を求 止めておく (基本例題183 (1) と同様)。 a> D>0 から a < 0,3<a また,①で,解と係数の関係により 2 実の a+B=-a, aẞ=a ここでf(a)+f(B)=a3+ax²+aa+1+3+a2+aβ +1 =(ω°+β3)+α(a2+ B2)+ α(a + β)+2 =(a+β)-3aB(a+B)+α{(a+B)2-2μß}+α(a+B)+2 =(a+B)3-3aß(a+B), x+a {( — — —³a)² - 2 — —³a}+a⋅(-1)+2 4 a²-a¹+2 27 f(x)+f(B)=2から 12/17 - 1/2/30°+2=2 よって 2a3-9a2=0 ②を満たすものは a=- すなわち a²(2a-9)=0 J 2 a2+B2=(a+B)2-2a αを消去。 inf. この問題では極大値 と極小値の和f (a)+f(B) を考えた。 極大値(もしく は極小値)を単独で求める 必要がある場合に,極値の x座標であるα (もしくは B)の値が複雑な値のとき は EX 148 を参照。 左 PRACTICE 184Ⓡ

ここって微分してから代入じゃだめなのでしょうか？

272 基本 例題 173 面積・体積の変化率 (1) 球の半径が変化するとき, 球の体積Vの,r=5 における変化率を求 めよ。 ( (2)球形のゴム風船があり, 半径が毎秒 0.5cm 1の割合で伸びるように空気を 入れる。 半径0cm からふくらむとして, 半径が5cmになったときのこの 風船の表面積の,時間に対する変化率(cm/s) を求めよ。 p.26 基本事項 3 CHART & SOLUTION 半径の球の体積は 4 表面積は4mr2) πr (1)V の r=5 における変化率は,Vのr=5 における微分係数である。 (2) 風船の半径と表面積を、時刻 t の関数で表す。 半径が5cm のときの時刻を求める [注意] どの変数で微分したのかを明示するときには, dvdv dr. dt の形の記号を用いる。複数 の変数を同時に扱う場合, V' という記号は避けた方がよい。 解答 微分 d+308+x=(1 (1) 半径rの球の体積Vは V= ad Vで微分すると dV dr 1/2)=1/2x3=42 - は定数。 よって,r=5 における V の変化率は 4・52=100 (2) 風船がふくらみ始めてから1秒後の風船の半径をrcm, S=S ①- 05/4 5=0 10秒後 840 表面積を Scm² とすると r = 0.5t ① dS よって S=4m²=4z(0.5t)2=nt2 -=π(t2)'=2nt dt t秒後(5) 5cm ◆ 「時間に対する変化率」 r=5のとき, ①から したがって は,表面積Sを時刻 5=0.5t t=10 ゆえに, t=10 におけるSの変化率は 関数で表して, tで微分 して求める。 0.5t cm 27-10-20π (cm²/s) 計算できるとこまで にを代入する PRACTICE 173Ⓡ (1) 底面の半径が r, 高さがr r=17

(2)について教えてください💧‬ グラフの書き方も、数値の出し方もわかんないです

205 00000 aは定数とする。 0≦02 のとき, 方程式 sin20-sin0=αについて 例題 126 三角方程式の解の個数 この方程式が解をもつためのαのとりうる値の範囲を求めよ。 この方程式の解の個数をαの値によって場合分けして求めよ 基本125 0000 および最大 基本124 CHART & SOLUTION 方程式 f (0)αの解 2つのグラフ y=f(0),y=aの共有点 sin0=k (0≦0<2π) の解の個数 k=±1 で場合分け ………… 目の個数はk=±1 のとき1個; -1 <k<1 のとき2個 ; k<-1, 1< のとき0個 その方の三角 を含む2 (1) sin20-sin-a ① とする。 (0 CO 4歳 sind=t とおくと 式に変 形に変形。 方程式 ②③の範囲の解をもつことである。 t 4 1 グラフと直線y=qの共有点の座標であるから, 右の図よりas ●方程式 ②の実数解は、y=e-1 (1-12-12 [2] ただし, 0≦02 から ③ したがって, 方程式 ①が解をもつための条件は, t2-t=a ...... ② 16 y y=f-ti [1]→ 2 y=a [2]→ 1 1-1 0 2 1/ [4] [5] 1 4 三角関数のグラフと応用 200nas 18 数の ●(2)(1)の2つの関数のグラフの共有点のt座標に注目すると, 方程式の解の個数は,次のように場合分けされる。 [1] a=2 のとき, t=-1 から 1個 Daor [2] 0<a<2 のとき, -1<t<0 から 2個 [3] (1)[4]- [3] α=0 のとき, t = 0, 1 から 3個[4] [5] 2π [3] [4] 14-1 <a<0 のとき,O<t</12/1/11121 70 [2]→ の範囲に共有点がそれぞれ1個ずつあり, そ [1] - れぞれ2個ずつの解をもつから 4個 t=sin0 [5] α=-- のとき,t=- 11 から 2個 2 個 [6] a<-12<a のとき 2- PRACTICE 126 を定数とする。 方程式 4cos'x-2cosx-1=αの解の個数を一π<x≦πの範囲 [類 大分大] で求めよ。

問題でθの範囲は定められてないのに勝手に決めちゃっていいんでしょうか。

基本 例題 93 1のn乗根 極形式を用いて, 方程式 21 を解け。 CHART & SOLUTION 複素数の累乗 ド・モアブルの定理 [1] |2|=1 より =1であるから, z=cos0+isin0 とおく。 [2] 方程式 2”=αの両辺を極形式で表す。 [3] 両辺の偏角を比較する。 偏角はarga +2kπ (k は整数)とする。 [4]0≦0<2πの範囲にある偏角の値を書き上げる。 解答 00000 313 p.302 基本事項 5 基本90 2=1から | z | 3=1 よって |z|=1 <+r=1 したがって, zの極形式を z=cosisin <2 とすると =cos 30+isin 30 ◆ド・モアプルの定理 また, 1を極形式で表すと 1=cos0+isin 0 よって, 方程式は cos 30+isin 30=cos0+isin 0 両辺の偏角を比較すると 3章 11 複素数の極形式, ド・モアブルの定理 2kл 30=0+2km (kは整数) すなわち 0 30=0 だけではない。 3 2kл 2kл +2k を忘れずに! よって z=COS +isin ..... ① 3 3 0≦02 の範囲では k=0, 1,2 ① で k = 0, 1, 2としたときのぇをそれぞれ20, 21, Z2 とす z= cos0+isin0=1, 12/3n+isin/3x=-12+12 inf. 23=1の解を複素数 平面上に図示すると, 下図 のようになる (p.302 基本 事項 5例 を参照)。 解を 表す点 20, Z1,Z2は単位円 に内接する正三角形の頂点 ると 21 COS 4 z2=cOS gr+isin 3π 2 2 4 1 √3 π= YA したがって、求める解は z=1, -121121-12-13 1√3 1 2 21 + -i, π 3 inf. 「極形式を用いて」 と指示がない場合 z-1=0 から (z-1)(z2+z+1)=0 -1±√√3i よって z=1, 2 と解くこともできる。 nia -1 22 20 x

解説お願いします。 写真の黄色マーカーの不等式で、1個目の式の20と、2個目の式の2がなんでそうなるか分かりません。 教えていただけると嬉しいです。 よろしくお願いします。

次方 右の図のように, BC=20cm, AB=AC,∠A=90° の三角形ABC がある。 辺 AB, AC上に AD=AE となるように2点D, E をとり, D, E から辺BC に 垂線を引き, その交点をそれぞれF, G とする。 D 00000 A E 長方形 DFGE の面積が20cm² となるとき,辺FG B F G の長さを求めよ。 CHART & SOLUTION 文章題の解法 基本 66 1. ① 等しい関係の式で表しやすいように、変数を選ぶ ②解が問題の条件に適するかどうかを吟味 FG=x として, 長方形 DFGE の面積をxで表す。 そして, 面積の式を20とおいた, xの2次方程式を解く。 最後に, 求めたxの値が,xのとりうる値の条件を満たすかどうか 忘れずに確認する。 から、 解答 とき 0-(S-)(S-A) Joi を FG=x とすると, 0<FG<BC であるから 0<x<20 20 Sp A ・① また, DF=BF =CG であるから D ← 定義域 Ed 2DF=BC-FG 20-x F C よって DF = -0 20-x 長方形 DFGE の面積は DF •FG= x 207 20-xち ← ∠B= ∠C=45° であるか 5, ABDF, ACEG 角二等辺三角形。 SA Jei $30 1-0 [S] 800 ゆえに .x=20 2 s 整理すると x2-20x+40=0 の係数が偶数 これを解いて x=-(-10)±√(-10)2-1.4026' =10±2/15は ここで, 02√158 から 10-8<10-2/15<20, 2<10+2/15<10+8 ←解の吟味。 02√15=√60<√64=8 よって、この解はいずれも①を満たす。 したがって FG=10±2√15(cm) 単位をつけ忘れないよう

このような場合でも極値を持つじゃないですか、 なぜ極値をもつ条件がf'(x)の符号が変わる、異なるふたつの実数解をもつ、判別式D>0になるのでしょうか

288 基本 例題 183 極値をもつ条件・ もたない条件 (1) 関数f(x)=x+ax²+(3a-6)x+5 が極値をもつような定数αのの 範囲を求めよ。ラ (類名古屋大) (2) 関数f(x)=2x+kx2+kx+1 極値をもたないような定数kの値の 囲を求めよ。 CHART & SOLUTION [類 千葉工大 ] (1) 3次関数f(x)が極値をもつ⇔f'(α)=0を満たす x = α が存在し, x=αの前後で f(x) の符号が変わる f'(x) =0 が 異なる2つの実数解をもつ f'(x)=0 の判別式 D>0 (2) 3次関数 f(x) が 極値をもたない⇔ f(x) が常に増加 [または減少] ⇔f'(x)の符号が変化しない 基本 12 ⇔f'(x)=0が重解をもつか実数解をもたない ⇔f'(x)=0 の判別式 D≦0 ①...... 3次 基本 もた 詳し 3次 3 (i) (ii) 解答 0 (1) f'(x)=3x2+2ax+3a-6 f(x) が極値をもつための必要十分条件は, f'(x) の符号が 変化することである。 (1) D>0 y=f(x) よって, f'(x)=0 すなわち 3x2 +2ax+3a-6=0 ① + + が異なる2つの実数解をもつ。 e I ①の判別式をDとすると argo D=α-3(3a-6)=α-9a+18 4 D>0 から (a-3)(a-6)>0 これを解いて a <3,6<a (2) f'(x)=6x2+2kx+k (2) 37 y=f'(x) / D=0| 3 + + X (i) y=f(x) / (ii) f(x) が極値をもたないための必要十分条件は, f'(x) の符 号が変化しないことである。 {=8+1-8-1=(1) よって, f'(x)=0 すなわち 6x2+2kx+k = 0 重解をもつか実数解をもたない。 ②が D<0 ② の判別式をDとすると D=k2-6k D≦0 から k(k-6)≤0 これを解いて + PRACTICE 183® D<0 は誤り。 (1) 関数f(x)=x-3mx²+6mx が極値をもつような定数の値の範囲を求めよ。 (2) 関数f(x)=x+(k-9)x2+(k+9)x+1 (kは定数) が極値をもたないような の値の範囲を求めよ。 ((1) 85 (2) 千葉工大] D: