272 基本 例題 173 面積・体積の変化率 (1) 球の半径が変化するとき, 球の体積Vの,r=5 における変化率を求 めよ。 ( (2)球形のゴム風船があり, 半径が毎秒 0.5cm 1の割合で伸びるように空気を 入れる。 半径0cm からふくらむとして, 半径が5cmになったときのこの 風船の表面積の,時間に対する変化率(cm/s) を求めよ。 p.26 基本事項 3 CHART & SOLUTION 半径の球の体積は 4 表面積は4mr2) πr (1)V の r=5 における変化率は,Vのr=5 における微分係数である。 (2) 風船の半径と表面積を、時刻 t の関数で表す。 半径が5cm のときの時刻を求める [注意] どの変数で微分したのかを明示するときには, dvdv dr. dt の形の記号を用いる。複数 の変数を同時に扱う場合, V' という記号は避けた方がよい。 解答 微分 d+308+x=(1 (1) 半径rの球の体積Vは V= ad Vで微分すると dV dr 1/2)=1/2x3=42 - は定数。 よって,r=5 における V の変化率は 4・52=100 (2) 風船がふくらみ始めてから1秒後の風船の半径をrcm, S=S ①- 05/4 5=0 10秒後 840 表面積を Scm² とすると r = 0.5t ① dS よって S=4m²=4z(0.5t)2=nt2 -=π(t2)'=2nt dt t秒後(5) 5cm ◆ 「時間に対する変化率」 r=5のとき, ①から したがって は,表面積Sを時刻 5=0.5t t=10 ゆえに, t=10 におけるSの変化率は 関数で表して, tで微分 して求める。 0.5t cm 27-10-20π (cm²/s) 計算できるとこまで にを代入する PRACTICE 173Ⓡ (1) 底面の半径が r, 高さがr r=17