を求めよ。 本事項 3 て 最 注意。 へ。 -3 -1 である を含ま 二値, 最 いこと いて る。 1187 最大最小の文章題(微分利用) 日本 例題 00000 半径6の球に内接する直円柱の体積の最大値を求めよ。 また、そのときの直 円柱の高さを求めよ。 & CHARTL 文章題の解法 SOLUTION 最大・最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ 円柱の高さを、例えば2t とすると計算がスムーズになる。 数のとりうる値の範囲を求めておくことも忘れずに。 このとき、直円柱の底面の 半径は62-12, 面積は(√62-12 (36) したがって、円柱の体積はtの3次関数となる。 円柱の高さを2t とすると 直円柱の底面の半径は 基本 186 06 ✓62-12 三平方の ◆三平方の定理から。 ここで、直円柱の体積をyとすると理 y=x(√36-t2)2.2t (36-12)・2t=2z(36t-13) tで微分すると y=2(36-3t2)=-6(-12) =6(t+2√3)(t-2√3) 0<t<6 において, y' = 0 となるの t=2√3 のときである。 (直円柱の体積) =(底面積)×(高さ) 295 6章 dy √62-12 dt をy' で表す。 21 と端 と端 よって, 0<t<6 におけるy の増減表は右のようになる。 t 0 ... 2√3 ... 6 定義域は 0<t<6 であ y' + I 0 - ゆえに,y t=2√3 で極 y > 極大 大かつ最大となり,その値は 2362√3-√3)}=22√3(36-12)=96√3 また、このとき,直円柱の高さは したがって 2.2√3 =4√3 最大値 96√3 π, 高さ 4√3 るから, 増減表の左端, 右端のyは空欄にして おく。 t=2√3 のとき √6212=2√6 よって、 直円柱の高さと 底面の直径との比は 4√3:4√6=1:√2 関数の値の変化 PRACTICE 187 曲線 y=9-x^ とx軸との交点をA,Bとし, 線分AB と この曲線で囲まれた部分に図のように台形ABCD を内接 させるときこの台形の面積の最大値を求めよ。 また, そ のときの点Cの座標を求めよ。を定め y 9 D C 881 ZA 0 B x

296 基本 例題 188 三角関数の最大・最小 (微分利用) [弘前大 0≦x<2 のとき, 関数 y=2cos2xsinx+6cos'x+7sinx の最大値と最小 値を求めよ。 また、そのときのxの値を求めよ。 CHART & SOLUTION 2倍角を含む三角関数 1つの三角関数で表す 基本 125 188 MONTUJO 20 125.188 2倍角の公式 COs2x=1-2sin'x, 相互関係 sin'x+cos'x=1 を用いて, sinxだけの なお、tの変域はxの変域とは異なることに注意。 (p.204 基本例題125 参照) で表す。 sinx=t とおくと, ytの3次関数となる。 解答 y=2cos2xsinx+6cos'x +7sinx =2(1−2sinx)sinx+6(1−sinx)+7sinx =-4sinx-6sin'x +9sinx+6 sinx=t とおくと, 0≦x<2であるから ytの式で表すと, y = -4t-6t+9t+6 であり 9 y'=-12-12t+9=-3(4t2+4t-3) =-3(2t-1)(2t+3) y'=0 とすると, -1≦t≦1 から t= 12 120 12 1 おき換えによって、とり うる値の範囲も変わる。 y 17最大 2 -1≦t≦1 におけるyの増減 表は右のようになる。 t よっては + 17 極大 0= y -5 → 17 最小 t=1/2で最大値- t=-1 で最小値 -5 をとる。 0≦x<2であるから t= 1/1/2 のとき x=/// t=-1 π 5 6'6" 3 π 1=1のとき x=2/2 したがっては, 基本 例題 a>0 が15, CHART 最大・最 増減表 ① 導関 ② 最大 最小 なお,本 の符号の 解答 f(x)= よって f'(x)= a>0 ように 0111 21 =1/2から π 5 π x= oesinx=-15 最大値 a>0 よっ ① また, ゆえ ②を これ した (sinx=- であり、 3 x= 5 17 x=201212xで最大値 1/2ix=02/21πで最小値 5 をとる。 PRACTICE 188 0≦0≦2 で定義された関数 f(6)=8sin-3cos20-12sin0+7の最大値、最小 値と,そのときの8の値をそれぞれ求めよ。 [東京理科大] PRA f(a であ

310 基本 例題 198 不等式の証明(微分利用) 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 (1) x≧0 のとき x>3x2-5 (2)x>0 のとき x-3x²+4x+1>0 基本 186, p.306 基本事項 2 CHART & SOLUTION 不等式f(x)>g(x)の証明 ① F(x)=f(x)-g(x)の最小値} >0 2 常に増加ならば出発点で 0 (1) 大小比較は差を作るにしたがって, xー(3x2-5)>0 を証明する。 それには, 関数 f(x)=x-3x2+5 の値の変化を調べ, その (最小値) > 0 を示す。 (2) 常にf'(x)>0であるから,②の方針で解く。 解答 (1) f(x)=x-(325) とすると f'(x)=3x2-6x=3x(x-2) + x=(x)=-=(x yy=f(x) f(x)=(左辺)(右辺) とする。 f'(x) =0 とすると x=0,2 x0 における f(x) の増減表は 次のようになる。 定数 5」 最小値0 重要 x≥ よ。 CH fl 極 1 x 0 .... 2 0 21(木) 1 f'(x) 0 + f(x) 5 |極小 > 1 よって, f(x) は x≧0のとき x=2で最小値1をとる。 ゆえに, x=0のとき (最小値) > 0 f(x)>0 つときは、 >0 (2)f(x)=x-3x²+4x+1 とすると したがって,x≧0 のとき x>3x²-5 が成り立つ。 f'(x)=3x²-6x+4=3(x-1)2+1 y=f(x) よって,常に f'(x)>0 ゆえに,f(x)は常に増加する。 [S] 16 (x-1)20であるから f'(x)≥1>0 f(0) =1>0 であるから, x>0 のとき f(x)>f(0)>0 出発点でf(x)>0 0 x すなわち, x>0 x-3x²+4x+1>0 が成り立つ。 0>a PRACTICE 1989 次の不等式が成り立 (8)(四 E