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ま問題
にして,
ca
be log√bc
log√ca
12>04 (x)
a-c
.d&
g'(x)=f'(x)-1≤1-1<0
第4!
微分
a
0=\)\
となり、
bc
c-b
ab log + be log + a log
ca
a-c
a+b+c+2√ab+2、bc+2√ca =1
ここで、√a+6+√c=1 の両辺を2乗すると,
(√a+√√b+√c)²=12
syabtv/bc+√ca ...... ①
であるから,g(x)は単調減少な関数である。
ここでg(0),g(1) を考えると,
*go
g(0)=f(0)-0=1+e=20
g(1)=f(1)-1=1
1+e
ab+c+√ca=1-(a+b+c)....②
もつ。
したがって,g(x)=0は0<x<1にただ1つの解を
==
e+1
e+1
中間
2
また、√a++√c=1のとき,(2)より,0x
(3)(2)において
よって、f(x)=xはただ1つの実数解をもつ。
g'(x)
ある.
Toge
f(x)=x を満たす
y=x/
190-18-
a+b+c
......3
loga <0
f(x)は
logi
01 1=x+p+q s
ただ1つの解をβと
おくと, 0<β<1で
あり、
x)(am,f(an))
y=f(x)
0
1-
f(B)=β①
an
ab
b
b-a a
C
ca
a
b a-c
log
4
1
関数f(x)=
について,次の問いに答えよ.
1+e
c-b
② ③より, ab+√bc+√/ca2 3
よって ①より
bc
-log- + -log
3
1
a+b+cz .
*22
an+1 8 1 x
1-(a+b+c) ≤1-1/2-1/2
また、条件より
f(a)=an+1 ②
①②の辺々の差の絶対値をとると
3
f(a)-f(B)1=la,+1βL③)
ここで,_amキβ のとき, f(x) に平均値の定理を用い
ると,
an-B
f(an)-f(B)=f'(c) ....... 次のよ
(021)
(1) 導関数f'(x) の最大値を求めよ.
(2)方程式 f(x)=xはただ1つの実数解をもつことを示せ.p)+(play
(3) 漸化式 an+1=f(a.) (n=1, 2, 3, ...) で与えられる数列{a} は,初項 α, の値によら
ず収束し、その極限値は(2)の方程式の解になることを示せ.
(1) f'(x)=-
(1te_^*)
e
(1+e) 1+2e+e 2x
1
1
*+2+e__**
+++2
ここで0.10 であるから,相加平均・相乗平
を満たすc が と β の間に存在する.
④を変形して,
\f(am)-f(β)\=lf'(c)lla-B
③を用いると,
|an+1-Bl=\f'(c)lla-B....... ⑤
つまり、⑤を満たすc が, am とβの間に存在する.
(1)より、f'(x)=1であるので,
微分
分母,分子にe を掛ける
lam+1-B1=\f'(c)lla-Bl
737 ya laß
よって
立つ
均の関係より,
e+
+22√2
e+2/+224
したがって,
f'(x)=-
1
1
e++2
e*
よって、f'(x) の最大値は,
(2)g(x)=f(x)-xとおくと,
等号成立は,e=1
すなわち、x=0 のとき
両辺ともに正より逆数をと
る.
19480
201
また,am=βのときも ⑥は成り立つ.
⑥をくり返し用いると
したがって,
のと
0<lan-Bal
d
であり, lim
うちの原理より,
Ka
a
(C
-1
と
2a-β=0であるから、⑦とはさみ
