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2024年度 9月 第1回駿ベネ共通テスト模試 自学@Akagi 数学Ⅱ, 数学B,数学C 第2問 (必答問題) (配点15) x, yは実数とする。 連立不等式 について考える。 41+ 1+x 21-y ≧64 log2 y log2 √5 + x + log4 (5-x) ①の左辺は2【ア】 x+y+【イ】と表すことができるから,①より である。 【ア】x+y【ウ】 ②の右辺について, 真数の条件により, xのとり得る値の範囲は 【エオ】 <x< 【カ】 である。 また,②の左辺について, 真数の条件により, yのとり得る値の範囲は y>【キ】 である。 【ク】 このとき,②の右辺は -log2(【コサ】-x 【シ】)と表すことができるから, ②より 【ス】≤【コサ】-x【シ】 である。
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座標平面上において, 連立不等式①、②の表す領域は 【セ】の斜線 部分である。ただし,境界線はx軸を含まず, それ以外は含む。 【セ】についは,最も適当なものを,次の①~⑤のうちから一つ選べ。 VA O xC VA x YA NA XC XC 実数x,yが連立不等式①,②を満たしながら変化するとき, 4x+3y の最大値は【ソタ】である。
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第2問 自学 @ Akagi 数学Ⅱ・数学B・数学C 1+x 21-y ≧ 64 …① \ log2 y log2 5 + x + log,(5-x)…② ①の左辺を底2でまとめると 4'+x = 22(1+x) = 22+2x 1 l-y = 2-(1-y) = =2-1+y =22+2x.2-1+y 21-y = 22x+y+1 1+x 64=2° だから①より 底 2>1より 不等号の向きは そのまま ②の右辺で, 真数は正より ②の左辺で,真数は正より 22x+y+1 ≧26 2x + y +1≧6 2x+y≧5 15+x>0かつ5-x>0 .. - 5 < x < 5 y>0
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②の右辺を底2の対数で log2 √5+ x = log2(5+x) = 1/2log2(5+x) 2 log2 (5-x) まとめると log4 (5-x)= 1 == - log24 2 -log2(5+x) + -log2(5-x) (5+x)+1/210g -log2(5+x)(5-x) = 1/2 10g (5-x) = 2 = -log2(25-x2) 2 ②より log2y=log2(25-x2) 2 ∴ 2logy≦log2(25-x2) ∴. logy' log2(25-x²) y'≦25-x2 整理すると ①より 2x+y=5 y≧-2x+5 (直線y=-2x+5以上) y>0(x軸より上) ②より x2 +y^ ≦ 25(原点中心で半径5の円の中) 4x+3y=kとおくと 4k y=--x+ 3 3 (3) kが最大となるのは直線 ③の切片が 最大となるとき, すなわち直線③と 円が第1象限で接するとき 距離が5 原点(0, 0)と直線4x+3y-k=0の距離が5より |4.0+3.0-k| =5 ∴|-k | = 25 √42 +32 ∴. k = 25 図からk > 0 x
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