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〔2〕 全体集合Uを整数全体の集合とする。 Uの部分集合 A, B, C
を次のように定める。 ただし, は整数の定数である。
A={x||x-1| ≦2},
B ={x | 2x-1>0},
C={x|k-1≦x≦k+2}
以下では, Uの部分集合 Xに対し, Xの補集合を X と表す。
(1)
(i) xは実数とすると,|x-1|≦2の解は,-【ソ】≦x≦ 【タ】である。
よって、0【チ】 4が成り立つ。
【チ】の解答群
(ii)
E
=
1 =
C
(3) つ
n
⑤ U
Cc4UBが成り立つような最小の整数kの値は,k= 【ツ】である。
ACが空集合となるような最大の整数kの値は, k= 【テ】である。

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(2) 二つの整数a,bに関する三つの条件p,q, rを次のように定める。
p: a+b=A
q:ab∈B
r:a > 0 かつ b > 0
rは, p かつqであるための 【ト】
【ト】の解答群
必要条件であるが,十分条件ではない
① 十分条件であるが, 必要条件ではない
(2)
必要十分条件である
(3
必要条件でも十分条件でもない

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自学 @Akagi
第1問
〔1〕
x4 -21x2 + p = 0
数学Ⅰ
・①
(1) p = -100 のとき 4=x2とおくと①の左辺は
A2-214-100 = (4+4)(4-25)
A=x2≧0より
A=x2=25
∴x= 5, -5
(2) p=4のとき x 2 + 2 = 5x ……… ② / x2 + 2 = -5x ・
②を解く。
x2-5x+2=0 より x =
5±√17
2
5+√17
よって
a =
2
2
2×2 4(5-√17) 5-V17
また
a
5+√√17
25-17
2
2
5-√17
42-10√17 21-5√17
よって
2
2
2
-5±√17
③を解く。
x2 +5x +2=0よりx
2
よって
B=
-5+√17
2
21-5√17
-
5+√17
だから
B
=13-3√17
a²
2
2
ここで
13 = √169, 3√17 = √153 だから
=
は正

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第1問
〔2〕
A={x||x-1| ≦2},
B ={x | 2x-1>0},
C={x|k-1≦x≦k+2}
(1) i)|x-1|≦2を解くと −2≦x-1≦2 :-1≦x≦3
よって, 0 は集合Aの要素だから OEA
ii)4:-1≦x≦3, B:- <x → AUB:-1 < x
2
B:1
よって, Cc AUB, すなわち集合 C が集合 4UBにスッポリ入
るのは
-1≦k-1 ∴0≦k
これを満たす整数kの最小値はk=0
-1 k-1
k+1
ü) 4:x <-1または3<x / C:k-1≦x≦k + 2
A∩Cが空集合となるのは次のようなとき。
-1 k-1
k+23
-1≦k-1 かつk + 2≦3
0≦k
かつ
k≦1
0≦k≦1
これを満たす最大の整数はk = 1

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(2)p:a+b∈A
q:ab∈B
a+bは-1以上3以下の整数
axbはーより大きい整数
r:a>0かつb0aもbも正の整数
r⇒p かつq を考える。
a=b=2のとき,rは成り立つけど, p かつqはa+b=4で
成り立たないからこの命題は偽。
① rpg を考える。
a+b∈A より-1≦a+b≦3
axb∈B より ab > >0
2
•(a)
(※)
これらをともに満たすα,bは
1≦a かつ1≦b または
a≦-1 かつb≦-1
2≦a+b
または
a + b≦-2
......(b)
(a)と(b)をともに満たすのは
2≦a+b≦3
(※)
(※) と (※※)より
a > 0 かつb > 0
よって,この命題は真。
ア, イより rはp かつ q であるための
必要条件であるが,十分条件ではない