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な書店
楕円+
4
焦点 準線
離心率
この式と
eの値を求めよ。
ポイント2 楕円上の点をP(x, y), Pから準線に下ろした垂線をPHとす
ると PF:PH=e:1(下の重要事項を参照)
の方程式を x=k (k>0) とする。 kの値と,この楕円の離心率
-=1 について, 焦点F(√5,0)に対する準線
: 120:
27 2次曲線の種々の問題 (1)
☆☆
210
重要例題
距離の比が 94 点F (1, 0) からの距離と, 直線 x=-1 からの距離の比が
☆☆☆
一定
2:1である点Pの軌跡を求めよ。
ポイント P(x, y) として, x, yの関係式を導く。
サクシード数学C
94点Pの座標を (x, y) とする。
点PとF(1, 0)の距離は
点Pと直線x=1の距離は
√(x-1)2+y^
x-(-1)|=|x+1|
√(x-1)2+y2: x+1=√2:1であるから
√(x-1)2+y^2=√2x+11
「両辺を2乗すると
(x-1)^2+y^2=2(x+1)2
整理して
8
(x+3)-3=1
...... ①
楕円上の任意の点Pにおいて成り立つ。
からyを消去して得られるxの等式は、
よって、条件を満たす点Pは, 双曲線 ①上にある。
逆に, 双曲線 ①上の任意の点P (x, y) は, 条件を満たす。
したがって 求める軌跡は
(x+3=1
双曲線
8
れ
★☆★☆
2次曲線の
回転
元
原点を中心とする
点P(x, y) に移るとする。 点Qは、点Pを原点を中心として
だけ回転した点であるから,複素数平面上で考えると
X+Yi-cos(-4) +isin (-4) (x+y)
の回転によって, 双曲線上の点Q(X, Y)
96 曲線 x2-3xy+y'=5 を, 原点Oを中心としてだけ回転
して得られる曲線の方程式を求めよ。
4
ポイント 3 平面上の回転移動には, 複素数平面を利用するとよい。
95 楕円上の任意の点をP(x, y) とする。
Pから直線x=kに下ろした垂線をPH とすると, 次の等式が成り立
つ。
PF:PH=e:1
√(x-√5)2+y2: x=e:1
√(x-√5)2+y^2=ex-k
■焦点 準線 心
2次曲線上の点P, 焦点
Fに対する準線 心
とする。 Pからに下ろ
のの土した垂線をPH とすると
PF: PH=e:1
が成り立つ。
0<e<1 ··· 楕円
e=1
・・・ 放物線
e>1
・・・ 双曲線
よって
したがって
両辺を2乗すると
(x-√5)2+y2=e2(x-k)? ...... ①
ここで,P(x, y)は楕円上の点であるから+2=1
よって
字数減らす
これを①に代入すると
X,Y を x, y で表し,X2-3XY+Y2=5 に代入する。
(x-√5)+4(1-2)=e
=ex-k)2
重要事項
xについて整理すると
(9e2-5)x2-18(e2k-√5) x+9(e2k2-9)=0
放物線y=4px
F:(p, 0)
l:x=-p
e=1
◆焦点、準線, 離心率
定点F と, F を通らない定直線lがあり, 平面上の点Pからlに下ろした垂線を
PH とする。PF:PH=e1 (一定) であるとき,点Pの軌跡は次のようになる。
0<e<1 のとき 楕円 e=1 のとき 放物線 e>1 のとき 双曲線
(F: 焦点: 焦点Fに対する準線, e: 離心率)
放物線でカキ 0, 楕円でα>6>0, 双曲線でα>0, 60 とする。
この等式は,楕円上の任意の点P (x, y) について成り立つ, すなわち
-3 3であるすべての実数xについて成り立つから
(9e2-5=0
......
②
e2k-√5=0
...... 3
[c2k2-90
④
5
√5
②から
e>0から
e=
0362
+=1 F: (±ae, 0)
l:x=
√a2-62
e=
・<1
e
62
双曲線コード= F:(±ae, 0)
a
a
l:x=±
√a²+62
これらは④も満たす。
これを3に代入してkを求めると
k=9√5
5
e=
->1
e
a
√5
したがって
k=
e=
5
3
楕円
P1 P2
すると
ま
が成
準編
