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第1章 数列
C 不等式の証明
数学的帰納法を用いて不等式の証明ができるようになろう。
目標
(p.48練習 43
等式に続いて,自然数nを含む不等式を証明してみよう。
応用
例題 nを4以上の自然数とするとき, 次の不等式を証明せよ。
5
6
2">3n
考え方
前ページ例題8と違い,n≧4 である。 46ページで学んだ数学的帰納
法の手順のどこを変えればよいか考える。
証明
この不等式を (A) とする。
[1] n=4 のとき
左辺 =2=16,
右辺 = 3・4=12
よって, n=4 のとき, (A) が成り立つ。
[2] k≧4 として, n=k のとき (A) が成り立つ, すなわち
2k>3k
が成り立つと仮定する。
n=k+1 のときの (A) の両辺の差を考えると
2k+1-3(k+1)=22-(3k+3)
すなわち
>2.3k-(3k+3)=3(k-1)>0/
2k+1>3(k+1)
10
15
よって, n=k+1 のときも(A) が成り立つ。
[1],[2]から,4以上のすべての自然数nについて (A) が成り立
つ。
終
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