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基本 例 22 数列の極限 (5) ･･･ はさみうちの原理 2
nはn≧3の整数とする。
(1) 不等式2">1が成り立つことを,二項定理を用いて示せ。
il
n
2
6
(2) lim- この値を求めよ。
n-∞ 2"
dat
指針 (1) 2(1+1)” とみて, 二項定理を用いる。
00000
mil
(a+b)"=a"+C₁a"-1b+nC₂a" b²++nCn-1ab1+br
基本21
(2)直接は求めにくいから、前ページの基本例題21同様, はさみうちの原理を用
いる。 (1) で示した不等式も利用。なお、はさみうちの原理を利用する解答の書き方
について,次ページの注意 も参照。
CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち
解答
検討
(1) n≧3のとき
2"=(1+1)"=1+Ci+nC2++nCn-1+1
21+n+1/2n (n-1)+/n(n-1)(n-2)
1
5
-n³+
6
n+1>.
n=1,2の場合も不等式
は成り立つ。
<2"≧1+nCi+nCz+nCs
(等号成立はn=3のと
き。)
1
よって
6
(2) (1)の結果から
0<
2n
n'
よって
6
2n
n
6
lim
12700 n
-= 0 であるから
2
lim-
n
(S)
各辺の逆数をとる。
<各辺に n² (0) を掛け
る。
n2n
=0
B
はさみうちの原理。
はさみうちの原理と二項定理
はさみうちの原理を適用するための不等式を作る手段として, 上の例題のように、 二
理が用いられることも多い。 なお、二項定理から次の不等式が導かれることを覚えておく
とよい。
x≧0のとき
(1+x)"≥1+nx, (1+x)">111
