①コーシーシュワルツの不等式より、
(x^2+4y^2+9z^2)(1+1+1)≧(x+2y+3z)^2
3(x^2+4y^2+9z^2)≧36
x^2+4y^2+9z^2≧12
等号成立はx=2y=3zかつx+2y+3z=6より(x,y,z)=(2,1,2/3)

②x^2+4y^2+9z^2=k^2、
2y=Y,3z=Zとおくと、x+Y+Z=6,x^2+Y^2+Z^2=k^2
x^2+Y^2+Z^2=k^2は原点中心で半径がkの球であるため、kの最小値は原点と平面x+Y+Z=6の距離
点と平面の距離公式からk=6/√3
よってx^2+4y^2+9z^2の最小値はk^2=12

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