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とき、最
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a を定数とする. 0 に関する方程式 sin' +2acos0+a-30 について この方程式の
解の個数をαの値の範囲によって調べよ. ただし, 0≦02 とする.
1 与式より,
(1-cos'0) +2acos+a-3=0 ...... ①
ここで, cosa=t とおくと,
また,
①は,
-1≤t≤1
1のとき,対応する 0 の値は1個
とき, 対応する 0 の値は2個
t2-2at a+2=0 ・・・・・・2
この左辺をf(t) とおくと,
f(t)=(t-a)-a-a+2
よって, y=f(t) のグラフは, 軸が直線 t=α で,下。
に凸の放物線である.
ここで,②が実数解をもつのは,f(t) の頂点のy座標
が0以下のとき,すなわち, -d-a+2≦0 より
a-21≦aのときである.
(i) a≦2 のとき
軸は区間の左側にあり
f(1=-3a+3≧9
よって、②が=-] を
'解にもつとき,すなわち,
f(-1)=a+3=0 より
a=-3 のとき,与えられ
程式は解を1個もつ.
| sin'0+cos20=10
T
Ka≦-2より、
-3a≥6
-3a+3≥9
20
4
a
0 t
対応する の値は1個
>
また,②が-1<t<1に解をもつとき,すなわ
ち,f(-1)=a+3<0 より, a<-3 のとき,与え
られた方程式は解を2個もつ.
-3<a≦-2 のとき, 与えられた方程式は解をも
たない.
(ii) -2<a<1 のとき
②は実数解をもたない.
(ii) a≧1 のとき
軸は区間の右端または右
側にあり,f(-1)=a+3≧4
よって② t=1 を解
にもつとき,すなわち,
f(1)=-3a+3=0 より,
a=1 のとき,与えられた
la
対応する0の値は2個
f(1) >0より,f(-1) <0 の
とき, -1<t<1で解をもつ.
Ka≧l より, a +3≧4
対応する0の値は1個
方程式は解を1個もつ.
また,② が-1<t<1に解をもつとき,すなわ
【対応する8の値は2個
ち,f(1)=-3a+3 < 0 より, a>1 のとき, 与えらf(-1)>0より,f(1) <0 の
れた方程式は解を2個もつ.
とき, -1<t<1 で解をもつ.
以上より, a3のとき 2個
a=-3 のとき 1個
-3<a<1 のとき, 0個
