とき、最 133 a を定数とする. 0 に関する方程式 sin' +2acos0+a-30 について この方程式の 解の個数をαの値の範囲によって調べよ. ただし, 0≦02 とする. 1 与式より, (1-cos'0) +2acos+a-3=0 ...... ① ここで, cosa=t とおくと, また, ①は, -1≤t≤1 1のとき,対応する 0 の値は1個 とき, 対応する 0 の値は2個 t2-2at a+2=0 ・・・・・・2 この左辺をf(t) とおくと, f(t)=(t-a)-a-a+2 よって, y=f(t) のグラフは, 軸が直線 t=α で,下。 に凸の放物線である. ここで,②が実数解をもつのは,f(t) の頂点のy座標 が0以下のとき,すなわち, -d-a+2≦0 より a-21≦aのときである. (i) a≦2 のとき 軸は区間の左側にあり f(1=-3a+3≧9 よって、②が=-] を '解にもつとき,すなわち, f(-1)=a+3=0 より a=-3 のとき,与えられ 程式は解を1個もつ. | sin'0+cos20=10 T Ka≦-2より、 -3a≥6 -3a+3≥9 20 4 a 0 t 対応する の値は1個 > また,②が-1<t<1に解をもつとき,すなわ ち,f(-1)=a+3<0 より, a<-3 のとき,与え られた方程式は解を2個もつ. -3<a≦-2 のとき, 与えられた方程式は解をも たない. (ii) -2<a<1 のとき ②は実数解をもたない. (ii) a≧1 のとき 軸は区間の右端または右 側にあり,f(-1)=a+3≧4 よって② t=1 を解 にもつとき,すなわち, f(1)=-3a+3=0 より, a=1 のとき,与えられた la 対応する0の値は2個 f(1) >0より,f(-1) <0 の とき, -1<t<1で解をもつ. Ka≧l より, a +3≧4 対応する0の値は1個 方程式は解を1個もつ. また,② が-1<t<1に解をもつとき,すなわ 【対応する8の値は2個 ち,f(1)=-3a+3 < 0 より, a>1 のとき, 与えらf(-1)>0より,f(1) <0 の れた方程式は解を2個もつ. とき, -1<t<1 で解をもつ. 以上より, a3のとき 2個 a=-3 のとき 1個 -3<a<1 のとき, 0個

Check! 練習 Step Up 232 第4章 三角関数 章末問題 a=1 のとき, 1個 a>1 のとき, 2個 解2 f2at-a+2=0 を ② とおくところまでは解1と同αを分離して2つのグラフの ( 小 共有点を考える解法 じ ②を変形すると,f+2=2a(t+12) となり,この方程 方式の実数解の個数は,放物線y=f+2 (-2.0)を通り、傾き 24の直線 y=2(+12)で飛 の共有点の個数に等しい. ③と④が接するとき②の判別式)=0 となるから, a²-(-a+2)=0 これを解いて, a=-2, 1 a=-2 のとき,②は, - t°+4t+4=0 (t+2)=0 t=-2 となり 接点の座標は2 また, a=1のとき②は, P t2-2t+1=0 1 (t-1)2=0 t=1 となり, 接点のt座標は1 132 4 また, ④ ③上の点 (-1, 3) を通るとき, 3=2(-1+) a=-3 よって、 右の図より,与え られた方程式の解は, YA a=-2 (-2, 6) a<-3 のとき 2個 a=-3 のとき, 1個 -3<a<1のとき, 0個 =1 のとき, 1個 a>1のとき、 2個 2 12 3 -101 a=-3 リー ① -1≧≦1の範囲外 パート K-1≦t≦1 の範囲内 a=1 SC ,10=8+5=1- =1のとき、対応する の値は1個 t=1のとき、対応するの 値は1個 850 160