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・関数 y=f(x) のグラフの概形をかくときには,次のような事柄について調べるとよい。
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(1)定義域・値域 (2)対称性,周期性
(5) 座標軸との交点などの特別な点
(3)増減,極値 (4) 凹凸,変曲点
(6) 漸近線
(7)連続でない点、微分可能でない点の様子
x2-3x +3
|例 曲線 y=
の概形をかく。
x-2
この曲線を表す関数の定義域は, xキ 2 である。
・簡単な式に変形する!!御分
x2-3x+3をx-2で割った
(x-2)(x-1)+1
1
商はx-1, 余りは1
y =
= x-1+
x-2_
x-2
1
①より y′=1-
(x-2)2
(x-1)(x-3)
(x-2)2
y"
-2
2
(x-2)3 (x-2)3
3章 微分の応用
であるから,増減,凹凸の表をつくると、次のようになる。
XC
1
...
2
...
3
y'
+
20
-
0
+
<-(x-1)=
V"
-
-
+
+
+
y
-1
と変形できる
2-2
y
3
また,① より lim{y-(x-1)} = lim
1
=0
x→∞
x→∞ x2
s
3
y=x-1
lim{y-(x-1)} = lim_
1
= 0
x→∞
x→∞ x-2
_x2-3x+3
であるから,直線 y=x-1 はこの曲線の漸近線
y=
x-2
である。
1
123
x
さらに, limy = ∞, lim_y = -8 であるから,
x-2+0
x-2-01
直線x=2 もこの曲線の漸近線である。
以上より, 曲線の概形は右の図のようになる。
・関数 f(x) が連続な第2次導関数をもつとき
f'(a) = 0, f'(a) > 0 ならば, f (α) は極小値
f'(a) = 0, f'(a) < 0 ならば, f (α) は極大値
例第2次導関数を利用して, 関数 f(x) = (x²-2x)e* の極値を求める。
f'(x) = (2x-2)ex+(x2-2x)ex=(x-2)e*
f'(x) = 2xe*+(x2-2)ex = (x+2x-2)ex
であるから、f'(x)=0 となるのは, x2=0のときである。
よって
ここで
であるから
x=√2-√2
f"(-√2)=2√2-2<0, f'(√2)=2√2e > 0
極大値は f(-√2) = (2+2√2) e-v2
極小値は
f(√2)=(2-2√2) ev
1節・接線, 関数の増減
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