[II] 次の あと い にあてはまる数と, か に あてはまる式を求め、最終結果のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ。 △ABCにおいて AB = 3, AC = 2 とする。 辺BC 上の点O を中心とする 円 S が,辺 AB と辺 AC のそれぞれと,頂点 A, B, Cとは異なる点で接し ているとする。円 S と辺AB の接点をPとし,r=sin ∠OAB とおく。 字を解 (1) AO = あ AB + い Aである。 2桁の (2) BCをェの式で表すとBC = う である。 (3) OP の式で表すと OP = え である。 (P)にしてん (4)のとりうる値の範囲は おで である。 は単位である。 (5) OP のとりうる値の範囲は か である。 実

2|5 II 解答 [( 1 ) あ. い. 3-5 0 D (2)5. √24x²+1 (3). 12x√1-x² √6 6 5 (4) お. <x<1 (5) か. 0<OP≤ 6 50 解説 《平面ベクトル, 2倍角の公式, 2次関数の値域》 (1)円 S と辺 ACの接点をQ とすると, 斜辺と1つの辺が等しいから △OAP =△OAQ ゆえに ∠OAP = ∠OAQ よって, 直線 AO は∠BACの二等分線 であるから BO:CO = AB: AC=3:2 >0< sin∠OAB=x 3 したがって AO= 2AB+3AC=AB+ 5 5 AB+2/3AC 2/AC→あ、い 5 0

(2) BC2=|BC|=|AC-AB|=|AC|+|AB-2ABAC |AB|=3, |AC|=2 ∠OAB=0 とおくとx=sin0 であるから AB.AC=|AB||AC|cos <BAC よって =3・2cos20=6(1-2sin20)=6(1-2x2) BC2=32+22-2×6 (1-2x2) =24x2 + 1 BC>0より BC=√24x2+1 →う (3) AO = AB+ AC & D) = AO-IAOF - AB+ AC-IAB+ AC+AB-AC このとき, AP=AQであるから これは0<AP<3 を満たす。 -<x<1 →お 0<AP<2 √6 よって 6 したがって,円Sは辺ABと頂点A,Bとは異なる点で接している。 (5)(3)より 12 12 OP= 12 5 5 <<<1である。 6 10 Tel 9 x=t とおき/K1のとき 1 4 = 5 25 36 36 72 144 (1-2x²) y=(-1/2) + 1/12 のグラフは右図のよう 36 = (1-2) 252525 25 ゆえに AO=1/2 √1-x³ (1) Ⅱ になるから 0<y≤ 1 4 12 よって OP=AOsin0= xv1-x2 →え (c) (+ .cr 0 したがって OP のとりうる値の範囲は →か 5 12 -16 (4)は三角形の内角であるから, 020 より << 2 すなわち III 解答 (1)き. 2-2√2-1-2+2/2 cos0 >0,0<x< 1 ...... ① く. -2-2√2-2 +2/2 ゆえに AQ=AO cos 0=AO√1-sin '0-12 √1-x'√--(1-1) 13 (2).4x+5 (3) こ. 27/17 1 + √65 (4)さ. 12 17 2 = 点Qは,辺 AC上の点であり、点ACとは異なるから GAD- 5 5 解説 <AQ<2 これより<= (1-x°) <2... ② ① ② より *10*+-+60 √6 ①より よく 6 《関数の極値変曲点 点と直線の距離, 接線》 (1) 関数f(x)の定義域は x≠0 f'(x) = 2x + 10-- 8_2 (x3+5x2-4) 2(x+1)(x+4x-4) 2 よって、f'(x) =0を満たすxは x=-1, -2±2√2 関数f(x)の増減表およびグラフは次のようになる。