53437 0 1 a 8=1 [2] 1≤a すなわち [2] YA a³ ・○○○ 最大 重要 224 区間の sas3のとき、 f(x)はx=1/3で最大となり M(a) = f(3) [3] 0</a<1 すなわち [3]y ax <a<2のとき, a2-2a+1 最大! →解 [2] は区間に極大値をと るxの値を含み, 極大値 が最大値となる場合。 355 f(x) は x=1で最大となり M(a)=f(1) 0<a< 242,3<a のとき 10円 a 41 x 3 M(α)=f(1)=α-2a+1 4 42 43 のとき M(a) 12/17 以上から を満た 増減表 3次関数の対称性の利用 [3] は区間に極大値をと るxの値を含むが、区間 の右端の方が極大値より も大きな値をとり 区間 の右端で最大となる場合。 f(1) 13-2a-1²+a².1 =a²-2a+1 線 検討 p.344 の参考事項で紹介した性質 1, 3 を用いて,f(x)=- 12/17ddを満たすx=/1/3以外のx の値を調べることもできる。 2つの極値をとる点を結ぶ線分の中点 (つまり,変曲点) の 43 y=f(x) 座標は x=- -2a 2 a 3.1 3 =1 a 4 で, a+ = 3 3 4 11/30) 12/27 となる。 なお, p.344 で紹介した性質を用いる方法は,検算で使う程度 としておきたい。 練習 223 αは正の定数とする。 関数f(x)=- x3 3 + 3 る最小値 m(α) を求めよ。 0 a X 6章 最大値・最小値、方程式・不等式 ax²-2ax+αの区間 0≦x≦2 におけ p.368 EX142

2-1+(n-1)=2"-1+n+1 1+1+1-8=5 205477 C(2261="16948= 1-1-88 +8=(1+1-12) 3+10="0 1+1-8="9 9984 1-5 7=1-1 354 基本 223 係数に文字を含む3次関数の最大・最小 ①①①①① を正の定数とする。3次関数f(x)=x2ax'+x0≦x≦1 における最大 [類 立命館大] 基本219 重要 224 値M (α)を求めよ。 端での関数の値を比べて最大値を決定する。 指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.350 基本例題219と同じ要領で, 極値と区間の f(x) の値の変化を調べると, y=f(x) のグラフは右図のよう ys になる(原点を通る)。ここで,x= =/1/3以外にf(x)=(1/2)を 満たすx (これをαとする) があることに注意が必要。 よって、1/3 (1/3<a) が区間 0≦x≦1に含まれるかどうか O aa 3 で場合分けを行う。 ★ f'(x)=3x²-4ax+α²=(3x-a)(x-α) 解答 f(x) = 0 とすると x= a > 0 であるから, f(x) の増減表は次のようになる。 a a ... 3 0 + まずは,f(x)=0を満た すxの値を調べ, 増減表 をかく。 <a>0 から 0<<a x f'(x) + 0 f(x) 極大 極小 ここで,f(x)=x(x2-2ax+α2)=x(x-α) から (*) 曲線y=f(x) と直線 2 4 x= の 27 点において接するから, ゆえに X= 4 a³ x=1/3以外にf(x) = 12/17 を満たすxの値を求めると, 4 27 x³-2ax²+a²x- 27 a³=0 (x-3) ( x − 1) = 0 f(x) -² (x-4) で割り切れる。このこと を利用して因数分解する とよい。 1-2a a² a 5 3 x= 1/3 であるから 5 4 a 1 a 0 よって, f(x) 0≦x≦1における最大値 M (α) は,次のよ うになる。 a - Q2 a [1] 1<1/3 すなわち α>3のとき, f(x) は x=1で最大となり M(a)=f(1) a²-2a+1 -最大 01 1- 0 <指針」 ★ の方針。 [1] は区間に極値をとる xの値を含まず。 区間の 右端で最大となる場合。 1a a