例題 8
{r} の極限 (2)
キー1 のとき, 極限値 lim
n→∞ rn+1
22+1
を求めよ.
1 無限数列 33
****
[考え方 {r"}の極限は、の大きさで場合分けする。
r>1 と <−1 のとき,つまり,
|r|>1 のとき,{r} は発散するが,
{(-)}は0に収束する
(>1のとき+1)
ことを利用するとよい.
解答
(i) |r|<1 のとき
< { r"}の極限〉
r>l limr"=8
n∞
N→∞
r=1 limr"=1
|r|<1 limr"=0
n→∞
r≦-1{r"} は振動
limr"=0 より, lim-
n→∞
(ii) r=1のとき
limr"=1 より
(ii) |r|>1 のとき
lim-
n→
+1
=lim
001
p" +1
-=0
r0
0+10
24+1
mn+1
=lim
→∞
rogn 1
"+12
1
< 1 より,
lim
818
(4)=0
1.1 1
1+1 2
r=−1 のとき,
r"+1=0 (nが奇数)
となるので,キ-1
mn+1
したがって,
lim
r
=lim
+1
=1
1+()
分母,分子を ” で
割る.
(|r|<1)
r
=r
1+0
心
よって, (i)~(Ⅲ)より, lim
r"+1
(r=1)
r(|r|>1)
Focus
|r|<1 のとき
r”→0 (n→∞)
n
→
|r|>1のとき (1) 0(n→∞)
注> ()については次のように考えてもよい.
>1 のとき, lim|r"|=∞ より, lim- =0 であるから,(与式)=lim
→∞
→∞
11-8
10.(1+1))
r
第1章
