を実数とし、数列{x} を次の漸化式によって定める。 (X X₁ =a, Xn+1=xn+xn2 (n=1, 2, 3, ･･････) ...) >0 のとき, 数列{x} が発散することを示せ。 1 <a<0 のとき,すべての正の整数nに対して1<x<0 が成り立つことを <a<0 のとき,数列{x} の極限を調べよ。 [19 東北大・理系]

(1) 与えられた漸化式より よって Xn+1Xn=Xn2 ≧0 Xn+1 ≧ Xn ...... ≧ x1 = a a>0 であるから, すべての自然数nに対して Xn+1-Xn=xm2 より n≧2のとき n-1 n-1 Xn = x1+xn² ≥a+Σa²=a+(n-1)a² k=1 k=1 lim{a+(n-1)a2}=∞であるから 87U すなわち, 数列{x} は発散する。 (2) -15 (2)- limxn=∞ Xn² ≥ a²