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重要 例題 116 反転 OP・OQ=(一定)
xy平面の原点を0とする。 xy 平面上の0と異なる点Pに対し, 直線 OP 上の
点 Q を,次の条件 (A), (B) を満たすようにとる。
(A) OP・OQ=4
|点Pが直線x=1上を動くとき, 点 Qの軌跡を求めて、図示せよ。 [類 大阪市大
(B)Qは,Oに関してPと同じ側にある。
基本110
運動形の軌跡 つなぎの文字を消去して,x,yの関係式を導く
指針 求めるのは、点Pに連動して動く点Qの軌跡。
P(X, Y), Q(x, y) とすると, 2点P Qの関係は
点Qが半直線 OP 上にある⇒X=tx, Y=ty となる正の実数tが存在する
このことと条件(A) から, tを消去して,X,Yをx, yの式で表す。 そして、点Pに関
する条件 X=1より,x,yの関係式が得られる。 なお, 除外点に注意。
B
点 Q の座標を (x, y) とし, 点Pの座標を (X, Y) とする。
解答 Qは直線 OP上の点であるから
Q(x, y)
P(X, Y)
X=tx, Y=ty (tは実数)
ただし,点Pは原点と異なるから t≠0, (x, y)≠(0, 0)
更に, (B) から, t> 0 である。
(A)から
√x²+ y²√(tx)²+(ty)²=4
ゆえに
t(x2+y2)=4
よって t=-
x+ye
4x
したがって X=-
Y=-
x2+y2.
を消去する。
x2+y2
(−1)=0.
点Pは直線x=1上を動くから
2
4x
x+y=1s(1S)AX=1に X=x2+y^
4x
を
ゆえに
よって
x2+y2-4x=0
(x-2)+y2=4
代入する
50-m-(1-)+1+
したがって, 求める軌跡は
中心が点 (2,0), 半径が20円。
0
12
14
ただし, (x,y)≠(0,0)である
T
から,原点は除く。
注意 本間は、反転の問題
-2
である。 反転については,
図示すると,右図のようになる。交=g0g 次ページ参照。」
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