236 四面体 OABC がある。 実数 r, s, tが次の条件を満たすとき, で表される点Pの存在範囲を求めよ。 1 (1) rts+t=1/21, r20, s≧0, t≧0 3 (2) r+s+t<1, r>0,s>0.t>0

280 235 サクシード数学C (1) 条件から, 球面の中心はx>0,y>0, z0 の範囲に存在する。 したがって,Pの存在 範囲は A'B'C' の周 および内部である。 0 球面が3つの座標平面に接するから、 中心の座 標を (x, y, r), 半径を(r>0) とおける。 よって, 球面の方程式は C (x-r)²+(y-1)²+(2-7)²=72 B これが点 (4,2,2)を通るから (4)+(2_re(2 整理すると re-8r+12=0 T (2) r+s+t=kとおくと これを解いて r = 2,6 0<k<1 OP=(OA)+(OB)+(OC) 080p したがって, 求める球面の方程式は " (1)(x-2)+(y-2)+(z-2)2=4, (x-6)2+(y-6)2+(z-6)2=36 また + + = (r+s+f)=1, k k k (2)条件から, 球面の中心はx>0, y < 0, z > 0 の範囲に存在する。 球面が3つの座標平面に接するから, 中心の座 標を (1, -1, r), 半径をr (r>0) とおける。 よって, 球面の方程式は (x-r)²+(y+r)²+(2-2)² = r² これが点 (5, -4, 1) を通るから AES (5-r)2+(-4+r)2+(1-r)²=2 整理すると r2-10r+21=0 これを解いて r = 3,7 したがって, 求める球面の方程式は (S (x-3)2+(y+3)2+(z-3)2=9, (1+(x-7)2+(y+7)2+(z-7)2=49 現する 100 the >0, 0, 0 よって、OAOA", kOB= OB", OCOC とすると,(1)と同様に考えて,Pは △A"B"C" の内部を動く。 kを0<<1で変化さ せると, A', B", C' はそれぞれ, 線分 OA, OB, OC (ただし, 端点 O, A, B, C を除く) 上 を動き, 平面A"B"C" は平面 ABCに平行であ る。 C" B" B したがって,Pの存在範囲は,四面体 OABCの 内部である。 し に 236 (1) OP=37 (1/30)+ OP=3(OA) +35(OB) +3tl 101 よって, OA-OA', 1/20B=OB, d OC=OC, 3r=r, 3s=s', 3t=f" とすると OP=1'OA'+s'OB' + t'OC', r'+s'+t'=1,r'≧0, s'≧0, t'≧0 ここで,r'=1-s' -f' であるから OP-(1-s'-'OA'+s'OB'+1'OC =OA'+s' (OB'-OA')+1'(OC'-OA') OP-OA'=s'A'B'+1'A'C' A'P=s'A'B'+'A'C' ゆえ よって s'≧0, f'≧0,s'+'≦1 237 指針 点の際は (1) 点と点Aはx座標と y 座標がそれぞれ しいから,点Aの影 A'はAを通り軸に 行な直線上にある。 また, 点Bの影 B'の は,PB'PBは実数) とおいてOB' を を用いて表し,その成分が0であると考 て求める。 (2)点Cの影C の座標をαを用いて表し、 B', C' が一直線上にある条件を考える。 (1) 点Aの影を A' とすると, A'は直線 PA xy平面との交点である。 P1, 0, 6) A (1, 0, 2)はx座標, y 座 れぞれ等しいから、直線PAは2軸に平 る。 よって, 点 A' の座標は(100)