例題 286 階差数列[2]
次の数列の一般項を求めよ。
3, 5, 8, 14, 25, 43, 70, 108, 159, ..
規則性を見つける
ReAction 規則性が分かりにくい数列は,階差数列を考えよ 例題 285
規則性が分かりにくい
{an} 3, 5, 8, 14, 25, 43, ...
n-1
an=a+b
k=1
n-1
bk
例題
思考プロセス
差(
{bm}:236 11 18
bn = b₁+Σck
k=1
さらに (
階差
{cm}:
1 3 5 7
Cn =
規則性が分かる
Action » 規則性が分かりにくい階差数列は,さらに階差を考えよ
与えられた数列を {az} とし,{an}の階差数列を {bm},
{bm} の階差数列を {c} とすると
((2-1)
370, 108, 159,
{az}: 3, 5, 8, 14, 25, 43,70,
{6}:2,3, 6, 11, 18, 27, 38,
{cm}:1,3, 5, 7, 9, 11,13,
51,
{cm} は,初項1,公差2の等差数列であるから
Cn=1+(n-1)・2=2n-1
よって, n≧2のとき
n-1
n-1
bn=b1+2ck=2+2 (2k-1)
k=1
=2+2=(n-1)n(n-1)
=n2-2n+3
(1)+(-1)
{{c} を {a}の第2階
数列という。
階差数列{6} の規則性が
分かりにくいときは、さ
らに{6} の階差数列をと
る。
+n=b1= 2
ÉS 18 Sk
n=1 を代入すると2となり,に一致する。
ゆえに, n≧2 のとき
n-1
n-1
=
AAC)S
+I=
an = a + b = 3+ (k²-2k+3)-8
k=1
k=1
(n-1){(n-1)+1)
16=n2-2n+3 が
n=1のときも成り立つ
か確認する。
=3+1/3(n-1)n(n-1)-2.1/2(n-1)n+3(n-1) 2
=
n(2n
-n(2n²-9n+25)
n=1 を代入すると3となり,に一致する。
したがって
an =
n(2n²-9n+25)
=
16
(n-1){(n-1)+1)(2n-1)+
Dan = n(2n³-9n+35)
n=1のときも成り
(S) 立つか確認する。
